11. Қатты дененің ауырлық центрі. Біртекті денелердің ауырлық центрінің координаталарын анықтау. Ауырлық центрін табу эдістері.

Жер бетіне жақын орналасқан дененің әрбір бөлшегіне вертикаль төмен бағытталатын және бөлшектің центріне түсірілетін ауырлық күштері (1-сурет )әсер етеді

Дене өлшемдері Жер радиусына қарағанда әлдеқайда аз болғандықтан, дене бөлшектеріне әсер ететін ауырлық күштерін тұрақты және бірыңғай параллель бағытталған күштер деп есептейміз. Бөлшектердің ауырлық күштерінің тең әсер етуші күші дененің ауырлық күші, ал осы параллель күштер жүйесінің С центрі ауырлық центрі деп аталады.

Біртекті дененің салмағы оның көлеміне тәуелді екендігін ескерсек, онда және кез келген бөлшектің салмағы Олай болса дененің ауырлық центрінің координаталары төмендегі формулалар арқылы анықталады.

Осы формулалардан біртекті дененің ауырлық центрі тәуелсіз және дененің геометриялық пішініне тәуелді болатынын көруге болады.Сол себепті координаталары 1-формулалармен анықталып отырған С нүктесі көлемінің ауырлық центрі деп аталады.

Ауырлық центрін табу әдістері:

1. Симметрия әдісі. Егер біртекті дененің симметрия жазықтығы, өсі немесе центрі болса, онда дененің ауырлық центрі симметрия жазықтығында, өсінде немесе центрінде жатады. Мысалы, біртекті дененің симметрия жазықтығы болсын делік. Онда симмеетрия жазықтығы денені өзара салмақтары тең болатын және ауырлық центрлері симметрия жазықтығынан бірдей қашықтықта жататын екі бөлікке бөледі.Сондықтан дененің ауырлық центрі симметрия жазықтығында жатады. Қалған екі жағдай дәл осыған ұқсас дәлелденеді.

2. Бөлу әдісі. Бұл жағдайда денені, ауырлық центрлері симметрия немесе басқа әдістермен оңай анықталатын қарапайым денелерге бөледі де 1,2,3 формулаларымен дененің ауырлық центрін анықтайды.

3. Толықтыру әдісі. Бұл әдіс қуыстары мен ойықтары бар денелер үшін қоладанылады. Қуыстар мен тесіктерді ойша толықтырғанда ешбір бос қуысы,не тесігі жоқ бүтін дене пайда болады. Мұндай дене үшін бөлу әдісін пайдаланып ауырлық центрінің координаталарын анықтаған кезде толықтырылған қуыстар мен тесітердің аудандарын теріс таңбалы дейміз

12.Нүкте қозғалысының теңдеуі табиғи тәсілмен берілген кездегі нүкте жылдамдығы мен үдеуін анықтау. Нүкте қозғалысы табиғи тәсілмен берілгенде оның доғалық координатасы OM=s уақытқа тәуелді функция ретінде беріледі. Онда нүктенің радиус векторы доғалық координатға тәуелді өзгеріп отырады.

Қарастырылып отырған t уақыт кезеңінде M нүктесінің траекториядағы орны s=s(t), ал кезінде = + доғалық координаталарымен анықталады делік. Нүктенің осы уақыт аралығында доғалық координатасының өсімшесі

Кез келген C центрінен M нүктесінің радиус векторын жүргізіп t уақыт кезеңіндегі жылдамдығын мына формуламен анықтайық.

s-тің шамасы өзгерген сайын радиус векторда өзгеріп отырады, яғни нүктенің радиус векторын жалғыз уықытқы ғана тәуелді функция деп қарастырмай, s-ке де тәуелді функция деп алуға болады. Енді жылдамдық векторы формуласының оң жағындағы бөлшектің алымы мен бөлімін ds дифференциалына көбейтіп жазайық.

Мұнда

векторының бағыты векторымен бағыттас

болады және , M нүтесінің доғалық S координата қашықтығы есептелуінің оң бағытына қарай жүргізілген жанманың бойымен бағытталады. Осы вектордың модульі бірге ұмтылады.

Сонымен векторының модульі бірге тең және доғалық координата қашықтығы есептелуінің оң бағытына қарай қисыққа M нүктесінен жүргізілген жанамамен бағыттас екенін көруге болады. векторы осы бағыттың орты болады. Осы ортты деп белгілейміз. = (9.24)

(9.24) формуласын пайдаланып нүктенің жылдамдық векторын мынадай түрде жазамыз.

(9.25)

туындысы (9.25) өрнегінен жылдамдығының жанамаға проекциясын көрсетеді, яғни жылдамдықтың алгебралық шамасын анықтайды.

(9.26)

Жылдамдық модульі нүктенің қозғалыс теңдеуінен немесе доғалық коордитнатасынан уақыт бойынша алынған туындының абсолют шамасына тең.

Нүкте үдеуін анықтау.

(9.28)

Траекторияның кез келген нүктесіндегі қисықтық радиусы оның сол нүктедегі қимықтығына кері шама болады. (9.29)

Енді үдеу векторының табиғи үшжақтықтың остеріне проекцияларын анықтайық. Жоғарыда, нүктенің қозғалыс теңдеуі векторлық тәсілмен берілгенде оның үдеуі жанасушы жазықтықта, яғни жазықтығында жататынын және траекторияның ойыс жағына қарай бағытталатынын атап өткенбіз. Сондықтан, үдеу векторының бинормальға проекциясы нольге тең болады. Олай болса, үдеудің шамасы оның жанасушы жазықтықта жататын және табиғи щсьтеріне проекциялары арқылы анықталады. Үдеу векторының өрнегі бойынша мынадай түрде жазамыз:

Осы теңдеуді және табиғи осьтеріне проекциалай отырып, үдеудің проекцияларын анықтаймыз, яғни

M1 нүктесі арқылы векторына параллель cd түзуін жүргізіп, векторларының арасындағы бұрышты (M және M1 нүктелері арқылы жүргізілген жанамалардың арасындағы сыбайластық бұрыш) деп белгілейміз. және векторларының жанама және нормаль осьтерге проекциялары:

: : .

Онда

нольге ұмтылғанда және екенін ескере отырып,

Деп жазамыз шамасы нүктенің жанама (тангенциалдық) үдеуі деп аталады.

(9.33)

қатынас шектері

Осы қатынас шектерінің шамасын ескере отырып, (9,33) өрнегін мынадай түрде жазууға болады

(9.34)

шамасы нүктенің нормальдық үдеуі деп аталады.

Сонымен нүкте үдеуінің (9,12 сурет) жанамаға проекциясы жылдамдықтан алынған бірінші туындыға, немесе қозғалыс теңдеуінен уақыт бойынша алынған екінші туындыға, ал бас нормальға проекциясы жылдамдықтың квадратын траекторияның берілген нүктедегі қисықтық радиусына бөлгенге тең. Толық үдеу векторы үнемі траекторияның ойыс жағына қарай бағытталады.