Приріст аргументу і функції

Похідна функції

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції в точці до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля (можна позначити або ).

Операція знаходження похідної називається диференціюванням.

Дотична до графіка функції та геометричний зміст похідної

Дотичною до кривої в даній точці М називається граничне положення січної MN, коли N прямує вздовж кривої до точки М.

— кутовий коефіцієнт дотичної.

.

—

рівняння дотичної до графіка

ф ункції в точці з

абсцисою

Значення похідної в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою (і дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної).

Механічний зміст похідної

Похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргументу; зокрема: похідна за часом є міра швидкості зміни, застосовувана до найрізноманітніших фізичних величин. Наприклад, миттєва швидкість нерівномірного прямолінійного руху є похідною від функції, що виражає залежність пройденого шляху від часу .

— залежність пройденого шляху від часу

— швидкість прямолінійного руху

— прискорення прямолінійного руху

Таблиця похідних деяких функцій

Правила диференціювання

Елементарні функції

Складені функції

(с- стала).

Сталий множник можна виносити за знак похідної.

Похідна суми

Похідна суми функцій, що диференціюються, дорівнює сумі їхніх похідних.

Похідна добутку

Похідна частки

Похідна складеної функції (функції від функції)

1. Знайти

.

Розв’язання

Спростити вираз

Скористаємося тим, що

Відповідь:

2. Знайти

Розв’язання

Домножимо чисельник і знаменник дробу на вираз, спряжений з чисельником.

В чисельнику «згорнемо» формулу різниці квадратів.

Скоротимо на .

.

Відповідь:

.

3. Дослідити функцію на неперервність в точці :

а)

б) .

Розв’язання .

1. .

2. .

3. .

1. .

2. .

3. .

Відповідь: функція не є неперервною в точці .

Відповідь: функція неперервна в точці .

4. Розв’язати нерівність.

Розв’язання

Розглянемо функцію: .

1. 

2. Нулі функції

3. Розбиваємо на проміжки і визначаємо знак функції на кожному з них:

4. Розв’язками вихідної нерівності будуть проміжки, де ; тобто .

Відповідь:

.

Обчислити приріст функції в довільній точці.

а)

Розв’язання

Фіксуємо довільне значення аргументу і знаходимо :

Надаємо аргументу приросту і знаходимо

.

Знаходимо приріст функції

Відповідь:

.

б)

Розв’язання.

Фіксуємо довільне значення аргументу і знаходимо :

Надаємо аргументу приросту і знаходимо :

Знаходимо приріст функції

Відповідь:

Користуючись означенням, обчислити похідну функції в точці

Розв’язання.

Фіксуємо довільне значення аргументу х і надаємо аргументу приросту

Обчислити приріст функції

Знаходимо відношення проросту функції до приросту аргументу

Обчислюємо похідну

Обчислюємо

Відповідь:

б)

Розв’язання

Фіксуємо довільне значення аргументу і надаємо аргументу приросту

Обчислюємо приріст функції

Знаходимо відношення приросту функції до приросту аргументу

.

Обчислюємо похідну

Обчислюємо

Відповідь:

Розглянемо різні способи обчислення похідної.

Сталий множник винесемо за знак похідної:

Використаємо формулу

Запишемо спочатку у вигляді степеня з від’ємним показником , а потім використаємо формулу

Використаємо теорему про похідну суму

Використаємо формулу про похідну добутку

Використаємо формулу про похідну частки

Використаємо формулу

Спочатку виділимо цілу частину , а потім знайдемо похідну складеної функції виду

Спочатку запишемо у вигляді степеня з від’ємним показником , а потім знайдемо похідну складеної функції.

Рівняння дотичної до графіка функції в точці , яка належить графіку.

Скласти рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою

Розв’язання

а)

б)

Обчислити значення функції в точці

Знайти похідну функції

.

Обчислити значення похідної в точці

Значення

підставляємо в рівняння дотичної

Відповідь:

Розв’язати задачі

1. Матеріальна точка рухається за законом (s виміряється у метрах, t — в секундах). Знайти швидкість та прискорення в момент

Розв’язання

1. — швидкість руху точки в будь-який момент t.

2. (м/с)— швидкість руху точки в момент

3. — прискорення руху точки в момент t.

4. (м/с²)— прискорення руху точки в момент

Відповідь: 52(м/с); 50(м/с²).

2. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом В який момент часу швидкість точки буде дорівнювати нулю?

Розв’язання

1. — швидкість руху точки в будь-який момент t.

2. 

Відповідь: швидкість точки дорівнює нулю в кінці першої секунди.

3. Тіло рухається вертикально за законом

Визначити швидкість тіла в момент його приземлення, якщо виражається в метрах, — в секундах.

Розв'язання

1. — швидкість руху тіла в момент часу .

2. В момент приземлення тіла

Значення не підходить за змістом задачі, оскільки мова йде про момент часу після початку руху;

В момент приземлення тіла

3. (м/с).

Відповідь:11(м/с).

4. Швидкість тіла, що рухається у вертикальному напрямку, змінюється за законом (м/с). Визначити швидкість тіла в момент приземлення, якщо воно в початковий момент знаходилось на висоті 2м від землі.

Розв'язання

1. (м/с²); оскільки прискорення стале, то тіло рухається за квадратичним законом:

2. (м/с).

3. 

Звідси легко знайти час приземлення тіла та швидкість в момент приземлення м/с.

5. При гальмуванні маховик за t секунд повертається на кут ( — у радіанах). Знайти: кутову швидкість обертання маховика в момент ; кутове прискорення в момент часу ; момент часу , коли обертання скінчиться.

Розв'язання

1. Кутовою швидкістю називається швидкість зміни кута за час . Кутова швидкість є похідною від кута повороту за часом .

2. (рад/с)— кутова швидкість в момент

3. Кутове прискорення є похідною від кутової швидкості за часом : (рад/с²).

4. В момент зупинки маховика:

Наприкінці третьої секунди кутова швидкість дорівнюватиме нулю, і обертання скінчиться.

Відповідь: =2рад/с; =-2(рад/с²);