12. Тема "Первісна та інтеграл".

Тема вивч. в 11 кл. Мета - вв.поняття про первіс. і інтеграл, операцію інтегрув. як обернену до диф.; показати застосув. Інтег. до обчисл. пл. криволін. трап. І об'ємів найпрос. тіл обертання. (Див, програм).

1.Мотивація вивч. теми поч. з заув. про те, що кожна операція, яку вивч. у ШКМ, має обернену. Уч. постають перед проблемою знаходження оберненої операції для операції диф. Ставиться завдання: за відомою похідною у=f(х) деякої ф-ії знайти ф-iю, яку назв первісною для у=f(х)

Озн.: первісною для даної функції у=f(х) на заданому (а;b) назв, ф-ія F похід якої для всіх х з інтерв (а;b) =f(х) Ставиться питання про кіл-ть первіс для даної ф-цІї, і з'ясовують, ідо первіс для даної ф-ії знаходитьс з точністю до соnst

2.0сн. вл. первісної поч. з наведення без дов. леми, яка використовується при дов. осн. вл. первісної.

Лема: Якщо F (х)=0 на деякому (а;b), то F(х)=С на цьому проміжку, де С -— стала Осн. вл. формулюється у вигляді двох Т. Т1. Якщо на (а;b) ф-ія F(х) є первісною для f(х), то на цьому проміжку первісною для f(х) буде також F(х)+С, де С=соnst

Т2. Будь-які дві первісні ф-ії для однієї і тієї ж самої ф-ії відрізняються на соnst.

3. Правила знаходження первісних.

1. Якщо F(х) є первісною для f(х), а G(х) —для g(х), то F(х)+G(х) - для f(х)+g(х).

2. Якщо F(х) є первісною для f(х), k — стале число, то kF(х) є первісною для kfх)

3. Якщо F(х) є первіс для f(х), а k i b— соnst (к0),то 1/k F(kх+b) є первісною дляf(kх+b) Для кращого засвоєння вивч. правил розглядають Пр. на застосув. цих вл..

Інтеграл. Вв. поняття Інтег. поч.. з Пр. з-ч, що приводять до поняття інтег. І оговорюється те, що до поняття інтеграла привели потреби розв'я. з-ч геом., фізики (про пл.. крив, трап., про масу неоднорід. стержня) Саме означ, носить пояснюючий хар-р: Нехай маємо неперервну ф-ію у=f(х) невід'ємну на [а;b], який розбивають на п рівних частин т. : a=x₀<x₁<...<х_п= b x_k – x_k-1 = (b – a)/n=x

Утворимо добутки f(х₀)x,… ,f(x_n-1)x i знайдемо їх суму S_n потім обчислимо границю S_n яку назв, інтегралом ф-ції у=f(х) від а до b, де а i b — межі інтегр, f(х)—підінтегральна ф-ія, f(х)dх— підінтег. вираз, х — змінна інтег

Сам термін «визн. інтег.» не вв. Вв формула Н-Лейбніца через розглядання задачі про обчисл. пл.. крив, трапеції І записується; Без дов. формул, осн. вл. інтег., які випливають із формули Н-Л. Потім розглядають Пр. на застос. даних вл.

1. обчислення площ плоских фігур.

2. обчислення об'ємів тіл.

3. застосування інтегралу у фізиці:

а) обчис. шляху за законом зміни швидкості

б) обчислення роботи змінної сили

в) обчислення кількості електрики

г) застос інтег. в ек.і техніці.

По кожному з цих застосувань Інтеграла розв'язуються задачі в яких подано алгоритм розв'язання подібних вправ. Основні методи інтегрування, а) метод розкладання, б) метод підстановки (заміни змінної), в) метод інтегрування частинами.

13. Вивч. «Триг.ф-ції» в 10 кл. треба будувати на осн. здобутих знань про ф-цію Осн. увага -на вивчення триг. ф-цій будь-якого числ. аргум. і осн. триг. тотож Спочатку треба докладн., ніж це було зроблено в 9 кл, розглянути радіанну міру кута (число а що = віднош. довжини дуги до r кола). В радіан, с-мі вимір-ня кутів за 1 береться центр, кут, l=r. Міра цього кута назв. радіаном. Далі треба згадати озн. триг, ф-цій кута і поширити їх на будь-яку град, міру, вв. кут повороту. Сказати,що існує від-сть між мн. R чисел і мн. т. од. кола, відпо-ті між мн. R чисел і мн. абсцис і ординат т. Р_а од. кола. Ці залежності - триг. ф-цій числ. аргумент

О. Sin числа a-ордината т.Р_a; од. кола, в яку переходить поч.т. Р₀ (1 ;0) при повороті навколо центра кола на кут а рад.

О. Cos числа а назв, абсциса точки Р_а од. кола, в яку переходить поч. т. ... (Означ, tg, ctg) Використов. означ, варто на уроці колективно дослідити хар-р зміни знач, кожної з триг. ф-цій і їх знаків. Для tg і ctg використати їх лінії як дотич. Перш ніж вивч. вл. ф-цій доводять їх період., будують графіки. З граф. ін. вл. а потім обгрунтувати їх аналітично. Доцільно виділити 7вл. триг. ф-цій і систем-ти їх так, як буде показано для y=sin x.

1.обл.визн.  R; 2.обл. знач. - [-1,1]. 3. непарна, sin(-x)=-sin х граф, симетр. віднос. поч. коор. 4. період, з Т= 2. 5. Т. перетину з вісями х=0, то у=0 т.б. графік проходить через (0;0); у=0 то х=k kZ. 6. sin х >0 на проміжку х (2n;+2n), sin х <0 х є(+2n; 2+2n); 7. y_max=l в т. /2+2n, a y_min=-l, у т. /2+2n; 8. ф-ція  на (-/2+2n;/2+2n ) і  на (/2+2n; З/2+2n);

У метод л-рі велась дискусія з приводу означ триг рів-нь. Пропонув назв, триг.:

1. рів. якщо змін вход лише під знак триг. ф-ції (sin x+x=0 - трансцендентним)

2. рів. якщо змін вход під знак триг. ф-ції (sin х+х=0 - тригонометричне)

Сп. розв'язування триг. рів.: 1) граф.сп.; 2)знаходж. за допомог, од. кола; 3) сп. розклад, на множн; 4)зведення до одн. триг. ф-ції; 5) сп. розв'яз.однор. рів.; 6) вв. допоміж. аргумент; 7) підне. до кв. На Пр. sin х - cos x=0

У ШКМ Існують різні метод, підходи щодо вв. arccos, arcsin, arctg. Один з них: ці ф-ції вв. як оберн, триг. ф-ції. Граф, ілюстрації і вл. триг. ф-цій сприяють засвоєнню нов. і їх застосуванню до розв'яз. триг. рів-нь.

Ф-ію f яка має оберн, назв оборотною. Увагу: необх. і дост. ум. Існування обер. ф-ції : ф-ія f має набувати кожного свого знач, лише для одного аргументу. Достат. ум. існ-я оберн, ф-ції для даної є її монотон, тобто  або  на всій обл.визн

О. Оберненою до даної оборотної ф-ції у = f(х) назв ф-ція х=  (у), яка кожн. у із обл. знач. ф-цїі у=f (х) ставить у від-ність єдине число х з її обл. визн.

Доцільно сформулювати уч. алгоритм знаходж. формули ф-ції, оберн, до даної. Дов., що граф, взаємно оберн, ф-цій симетр, відносно у=х. Далі розгл. оберн, триг. ф-ії.