14. «Показникові ф-ія. Рів., нерівн.»

На етапі мотив, доцільно навести Пр. залеж, які вираж. через показн. ф-цІю. Пр. Температура Т 100г піску, нагріто до 100°, змінюється при 0° залежно від часу t за формулою Т= 100-0,8^t.

В наведеному Пр. формула задає ф-цією, для обчисл. якої сталий множник доводиться множити на степінь сталої зі змінним покази., яка має цілком певне дод. знач. Найпрост, випадком таких залежн. є ф-ція виду y=a^x, яку наз. показн. О. Показн. ф-цією. наз. ф-цiя. у=a^x , де а -задане дод. число, а1, х і у-змінні. Побудову граф. y=2^x, y=(l/2)^x доцільно виконати за допомог заздалегідь складеної табл. знач, ф-цiї з кроком 1/4.

Вл. ф-ції уч. споч. «читають» за граф, а вч. дов. їх аналіт. Попередньо треба повтор, вл. степ.

1) Обл. визн. ф-ції у=a^x є мн. Вcix R

2). Показн. ф. набуває лише дод. значень .

3) ф. не є ні парн., ні непарною

4)Якщо а>0, за х>0, a^x >1,за х<0 0 <a^x<1 Якщо а<0, то за х>0 0 < a^x <1, а за х<0 a^x >1.

5).Якщо х=0, то, у=a^x =1,

6).Ф-ція при а>1 , а при 0<a<1-спадна.

7).Ф. неперервна і диф. на всій обл. визн.

Показн. рів. різні погляди:

1)невідоме входить лише до показн. степ.; 2) невідоме входить до показн. степеня.

Сп. розв'язування показников. рів-нь:

1) зведення обох частин рів. до степеня з однаков. осн.; 2) сп. логарифмування; 3) вв. допоміжного невідомого, доцільно розв. рів. до складу яких входить алгеб. сума степенів a^kx+b; 4) граф, сп; 5) винесення спільного множника за дужки.

15. Логарифмічна функція.

Перш ніж вводити логар- функ, як ф-цію, обернену до показн, доцільно вв. означ, log числа b за основою а(а>0, а1) як показника степеня, до якого треба піднести число а, щоб дістати число b і запровадити символ log_ab.

Треба звернути увагу учнів на те, що рівності log_ab=x і ax = b виражають те саме співвідношення між а, b, х.

Варто розв'язати кілька вправ на перехід від показник до логар. рівностей, обчисл. знач. лог. виразів, вв. осн. лог. тотож. і розв'язати кілька усних вправ на її застосування до обчислення виразів.

Осн. для розв'яз. лог. рів-нь і нерівн, тотожних перетворень лог. виразів є чотири теореми про основні вл. лог. і наслідки з них, а також деякі важливі лог. тотожності. Маються на увазі тотож-ті:

Учні самі доходять до означ, лог. функ. Як оберн, до показн., виконуючи кроки: 1) у =a^x зростаюча за а>1, спадна за 0 < а < 1, тому вона є оборотною на всій обл. визнач. Враховуємо, що xR, y(0, +) .

2) Розв'яжемо рів-ня з двома невідомими у =a^x стосовно невідомої х. Оскільки х - показник степеня, то, за означ, логарифма y=log_ax , де y  R , х  (0;+ )

О. Функція, оберн, до показн,y=a^x (a>0, а1) наз. логарифм, і познач, y=log_ax) обл.визн. - мн. додат. чисел; 2) обл. знач. -мн. R; 3)ф-ція  на всій обл..визн, якщо а>1; якщо 0<а<1 – .4) для кожного у=0 х=1 5) неперерв. і диф. 6) х>0, якщо у>1 і х<0, якщо 0<у<1, при а>1; х<0, якщо у>1 і х>0, якщо 0<у<1, при0<а<1;

Лог. рів-ня. Під час розв'яз. лог. рів-нь використовуються лог. тотож, вл. лог. і операція потенціювання. Важливо звернути увагу уч. на те, що оскільки лог. ф-ція визнач лише на мн. дод. чисел, то варто ще до розв'яз. рів-ня знайти обл. визн. виразів, що входять до складу рів-нь. Очевидно, напр., що lg(x-5)=lg(3-x) не має розв'яз, оскільки х мають належати спільній частині обл. визн. lg (x - 5) і lg (3 - х), тобто мн. розв'язків сис-ми х>5 і х<3. Оск. сис-ма не має розв'яз то їх не має і дане рів.

Слід застерегти уч. від можливих порушень еквівал. лог. рів. внаслідок виконання ТП. Наприклад, якщо маємо рів. то, розв'язуючи його за озн. лог., дістаємо 2 розв'яз. Справді, х²=10³, х = ±10^3/2 Коли ж розв'язувати це рів, використ- твердження про лог. степеня, то маємо 2lgx=3, lgx=3/2, x=10^3/2. Втрата розв'язку сталася внаслідок використання тотож. log_au^v=vlog_au, яка справедлива лише при додат. u. Сп. розв'яз. лог. рів-нь.

1) сп. потенціювання;

2) вв. допоміж. змін,;

3)граф, сп;

4) застосування формул переходу від однієї осн. лог. до ін.