25. „Рівняння і нерівності"

Курс передбачає навчити розв'язувати трансц-ні р-ня і нерівності (тригоном, пока-ві, логар-ні) та іррац рів-ня і нерівності. Це пов'язується з вивченням властивостей відповідних функцій. Відомо, що не існує загального способу розв'язування трансц-х р-нь і нерівностей. Проте в умовах ср шк доцільно ознайомити учнів зі с-ми розв'язування найпрост та окремих видів таких р-нь і нерівностей, до яких зводиться розв'язування складніших. Корисно звести в систему окремі види р-нь і нерівностей за способами їх розв'язування. Чинна програма вимагає, вміли розв'язувати найпрост триг р-ня та деякі нескладні види триг р-нь, які зводяться до найпр-х; навчились розв'язувати нескладні показник, логариф-ні ірраціональні р-ня, нерівності і їх с-ми. У метод л-рі велась дискусія з приводу означення поняття тригон р-ня. Тригон пропонувалось називати: 1) р-ня, в якому змінна входить лише під знак триг ф-ції (у такому разі р-ня sin x+x=0 не належ до триг; його пропонували називати трансценд); 2) р-ня, в якому змінна входить під знак тригон функції (тоді р-ня тригон). Розбіжність в означеннях не є принциповою. Слід наголосити на принциповій відмінності тригон р-нь від алгебраїчних: тригон р-ня, в яких змінна входить лише під знак триг ф-ції, або зовсім не мають розв'язків, або мають їх здебільшого безліч. Це пов'язано з властивістю періодичності тригон ф-цій. До найпростіших тригон р-нь відносять р-ня вигляду sin x = a, cos x = a, tg x = а. Шкільна практика свідчить про те, що часто учні правильно виконують потрібні перетворення при розв'язуванні складніших тригон р-нь і роблять помилки при розв'язуванні простіших р-нь, до яких зводяться складніші. Тому важливо домогтись, щоб учні не формально запам'ятовували формули загального розв'язку, а усвідомлювали, чому одержуються саме такі формули, а не інші. Доцільно розглянути 2 способи розв'язування найпростіших тригоном рівнянь:

1) графічний спосіб; 2)за допомогою одиничного кола. Окремі способи розв'язування триг р-нь з метою ознайомлення з ними і порівняння зручно показати на прикладі одного р-ня (sin x-cos x=0). Це такі: 1.зведення до однієї тригоном функції. 2. розкладання на на множники. 3.розв'язування однорідних рівнянь 4.введення допоміжного аргументу 5.піднесення до квадрата. 6. графічний спосіб. Щодо означення показникових (і логарифмічних) рівнянь, як і щодо триг, існують два погляди: 1) показн-ми (логариф-ми) називати р-ня, в яких невідоме входить лише до показника степеня (під знак логарифма або до його основи); 2) показн-ми (логариф-ми) називати рівняння, в яких невідоме входить до показника степеня (під знак логарифма /або до його основи).

Аналогічні погляди існують щодо означення показ-х і логариф-х нерівностей. Доцільно ознайомити учнів з основними способами розв'язування показн-х р-нь. До найпрост показ-х р-нь належать рівнянняa^f(x)=a^(x).

Теорет основою його розв'язування є наслідок з властивості монотонності показн функції: якщо степені того самого числа, відмінного від одиниці, рівні, то рівні і їх показн:

- зведення обох частин рівняння до степеня з однаковою основою;-спосіб логарифмування; -введення допоміжного невідомого; -винесення спільного множника; -графічний спосіб. Показникові нерівності. Важливо наголосити, що теоретичною основою розв'язування показн-х нерівностей є властивість монотонності показн-ї функції, а способи розв'язування — аналогічні способам розв'язування показн-х рівнянь. Логарифмічні рівняння. Під час розв'язування логарифм рівнянь використовуються логар тотожності, властивості логарифмів і операція потенціювання. Важливо звернути увагу учнів на те, що оскільки лог функція визначена лише на множині додатних чисел, то варто ще до розв'язування рівняння знайти область визначення виразів, що входять до складу рів-нянь.(спосіб потенціювання; введення допоміжного невідомого; застосування формули переходу від однієї основи логарифма до іншої; графічний спосіб)

Логарифмічні нерівності. До найпростіших логар нерівностей слід віднести нерівності вигляду log_af(x)>b (або log_af(x)<b), log_af(x)>log_a(x) (або log_af(x)<log_a(x)). Теоретичною основою розв'язування логар нерівностей є властивість монотонності логарифмічної функції. Способи розв'язування логар нерівностей аналогічні способам розв'язування логар рівнянь Ірраціон рівняння. Іррац називають рівняння, в яких невідома міститься під знаком кореня. Аналогічно означаються Іррац нерівності. Слід звернути увагу учнів на те, що до складу іррац рівнянь і нерівностей входять лише арифметичні корені. Така домовленість дає змогу уникнути неоднозначності в тлумаченні значень коренів. Доцільно ознайомити учнів з двома способами розв'язування іррац рівнянь: - піднесення обох частин рівняння до степеня з показником, рівним показнику кореня, що входить до рівняння. - спосіб введення допоміжної змінної