§113 Природа носіїв струму в металах. Дослід Рікке. Ідея Лоренца визначення відношення заряду до маси носія електричного струму в металах. Дослід Толмена і Стюарта [2]

1. Дослід Рікке. Для з'ясування природи носіїв струму в металах був поставлений ряд дослідів. Насамперед відзначимо дослід Рікке, здійснений у 1901 р. Рікке взяв три циліндри – два мідних і один алюмінієвий – з ретельно відшліфованими торцями. Після зважування циліндри були складені разом у послідовності: мідь – алюміній – мідь. Через такий складений провідник пропускався безупинно струм одного напрямку протягом року. За увесь час через циліндри пройшов заряд, що дорівнював 3,5∙10⁶ Кл. Зважування показало, що вага циліндрів не змінилася. При дослідженні торців циліндрів під мікроскопом не було виявлено проникнення одного металу в іншій. Результати досліду свідчили про те, що носіями струму в металах є не атоми, а якісь частинки, що входять до складу всіх металів. Такими частинками могли бути відкриті в 1897 р. Томсоном електрони.

Рисунок 113.1

2. Ідея Лоренца визначення e/m. Щоб ототожнити носії струму в металах з електронами, потрібно було визначити знак і числове значення питомого заряду носіїв. Досліди, що були виконані із цією метою, ґрунтувалися на таких міркуваннях. Якщо в металах є заряджені частинки, що здатні переміщуватися, то при гальмуванні металевого провідника ці частинки повинні якийсь час продовжувати рухатися за інерцією, у результаті чого у провіднику виникне імпульс струму й буде перенесений деякий заряд.

Нехай провідник рухається з початковою швидкістю (рис. 113.1). Почнемо гальмувати його із прискоренням . Продовжуючи рухатися за інерцією, носії струму отримують відносно провідника прискорення . У системі відліку, що пов’язана з провідником, на електрон діє сила інерції , де – маса носія струму. є сторонньою силою. Напруженість поля сторонніх сил дорівнює

,

де –заряд носія струму. Таким чином, у колі виникає ЕРС

,

де – довжина провідника. У цьому випадку по провіднику пройде струм силою , де – опір провідника (струм вважаємо додатним, коли струм проходить у напрямку руху провідника). Отже, за час через кожний перетин провідника пройде заряд

.

Тут врахували, що . Заряд, що пройшов за увесь час гальмування, дорівнює

. (113.1)

Заряд є додатним, коли він переноситься у напрямку руху провідника.

Таким чином, вимірявши , і , а також заряд , що проходить по колу під час гальмування провідника, можна знайти питомий заряд носіїв. Напрямок імпульсу струму дасть інформацію про знак носіїв.

3. Дослід Толмена і Стюарта. Перший дослід із провідником, що рухався прискорено, був поставлений у 1913 р. Мандельштамом і Папалексі. Вони створили швидкі крутильні коливання котушки із дроту навколо її осі. До кінців котушки підключався телефон, у якому було чути звук, обумовлений імпульсами струму.

Кількісний результат був отриманий Толменом і Стюартом у 1916 р. Котушка із провідника довжиною 500 м приводилася в обертання, при якому лінійна швидкість витків становила 300 м/с. Потім котушка різко гальмувалася й за допомогою балістичного гальванометра вимірювався заряд, що проходив у колі за час гальмування. Обчислене за формулою (113.1) значення питомого заряду носіїв, було дуже близьким до для електронів. Таким чином, було експериментально доведено, що носіями струму в металах є електрони.

4. Дослід показує, що струм у металах можна викликати вкрай малою різницею потенціалів. Це дає підставу вважати, що носії струму – електрони переміщуються в металі практично вільно. До того ж висновку приводять і результати досліду Толмена й Стюарта.

Існування в металах вільних електронів можна пояснити тим, що при утворенні кристалічної решітки від атомів металу від’єднуються слабкіше усього зв'язані (валентні) електрони, які стають «колективною» власністю усього металу. Якщо від кожного атома від’єднати по одному електрону, то концентрація вільних електронів (тобто їх число в одиниці об'єму) буде дорівнює кількості атомів в одиниці об'єму. Число атомів в одиниці об'єму дорівнює , де – маса одного атому; – густина металу; – маса моля; – число Авогадро. Звідси знаходимо, що концентрації вільних електронів у металах приймають такі значення

 м^–3. (113.2)

§114 Якісні уявлення про електропровідність металів з точки зору класичної теорії. Закон Ома та Джоуля-Ленца з погляду класичної теорії електропровідності. Недоліки класичної теорії електропровідності [5]

1. Якісні уявлення про електропровідність металів. Виходячи з уявлення про вільні електрони, Друде створив класичну теорію електропровідності металів у 1900 р., яка потім була удосконалена Лоренцом. Друде припустив, що носії струму в металах – електрони поводяться подібно молекулам ідеального газу. У проміжках між зіткненнями вони рухаються під час відсутності поля вільно, пробігаючи в середньому деякий шлях . На відміну від молекул газу, пробіг яких визначається зіткненнями молекул одна з одною, електрони зіштовхуються переважно не між собою, а з іонами, що утворюють кристалічну решітку металу. Ці зіткнення приводять до встановлення теплової рівноваги між електронним газом і кристалічною решіткою.

Для оцінки середньої швидкості теплового руху електронів провідності в металах скористаємося формулою для середньої швидкості теплового руху молекули, поклавши температуру такою, що дорівнює 300 К:

.

У цій формулі – маса електрона; – стала Больцмана.

Після включення електричного поля на хаотичний рух, який відбувається зі швидкістю , накладається впорядкований рух електронів з деякою середньою швидкістю . Величину цієї швидкості легко оцінити, виходячи з формули

, (114.1)

де та є відповідно концентрація та заряд електрона. Найбільша можлива густина електричного струму, коли провідник ще не перетворюється на рідину через виділення великої кількості тепла, для міді дорівнює близько  А/м². Якщо взяти для значення  м^–3, то отримаємо

 м/с.

Таким чином, навіть при дуже великих густинах електричного струму середня швидкість впорядкованого руху електронів приблизно в разів менше середньої швидкості теплового руху . Тому в обчисленнях модуль результуючої швидкості можна заміняти модулем теплового руху .

2. Закон Ома. Друде припускав, що електричне поле збільшує швидкість електрона і надає йому деяку додаткову енергію. Під час зіткнення електрона з іоном решітки набута ним за час пробігу додаткова енергія повністю передається іону. Далі електричне поле знову прискорює електрон, знову має місце зіткнення і т.д. Отримаємо закон Ома, виходячи з вище описаної моделі руху електрона в металі.

Якщо поле в металі є однорідним, то електрон рухається деякий час (час пробігу) з постійним прискоренням ( та є відповідно зарядом та масою електрона, є напруженістю електричного поля) й за час пробігу швидкість упорядкованого руху досягає значення

, (114.2)

де – довжина вільного пробігу; – його результуюча швидкість, яка, як ми з’ясували вище, практично збігається з тепловою .

Швидкість змінюється за час пробігу лінійно. Тому її середнє значення дорівнює половині максимального:

.

Підставивши це значення середньої швидкості впорядкованого руху носіїв струму у формулу для густини електричного струму, отримаємо

, (114.3)

де є концентрацією носіїв струму (вільних електронів у металі). Таким чином, ми прийшли до закону Ома в диференціальному вигляді. Більше того, виходячи з класичної теорії електропровідності металів, ми отримали вираз для провідності:

. (114.4)

Звідси випливає, якби електрони не мали зіткнень, довжина вільного пробігу, а отже, і провідність були б нескінченно великі. Таким чином, відповідно до класичних уявлень опір металів обумовлений зіткненнями електронів провідності з іонами кристалічної решітки.

3. Закон Джоуля-Ленца. Розглядаємо попередню модель руху електронів у провіднику. Знайдемо середнє значення додаткової кінетичної енергії електронів, що обумовлена дією електричного поля. Швидкість електронів дорівнює сумі швидкості теплового руху й швидкості впорядкованого руху . Середнє значення квадрата результуючої швидкості дорівнює

,

де – кут між векторами й (усереднення виконується за усіма електронами). Швидкість хаотичного руху має з рівною ймовірністю найрізноманітніші напрямки. Тому всі значення від –1 до +1 мають однакову ймовірність. Через цю причину середнє значення дорівнює нулю. Таким чином,

.

Звідси випливає, що середня кінетична енергія електронів складається з постійного доданка й додаткового доданка

,

який обумовлений полем.

У момент перед зіткненням має значення (див. формулу (114.2)) й додаткова кінетична енергія дорівнює

. (114.5)

Зіштовхнувшись із іоном, електрон, за припущенням, віддає йому (тобто решітці) всю отриману ним додаткову енергію. Кожний електрон має за секунду зіткнень, передає щоразу решітці енергію (114.5). Тому в одиниці об'єму за одиницю часу буде виділятися кількість теплоти

, (114.6)

де є провідністю, формула для якої збігається з (114.3). Зазначимо, що закон Джоуля-Ленца в диференціальній формі має вигляд

. (114.7)

Порівнюючи (114.7) та (114.6) бачимо, що отримане співвідношення (114.6) є законом Джоуля‑Ленца в диференціальному вигляді. Співвідношення для провідності , які отримані з закону Ома (114.3) та закону Джоуля-Ленца, збігаються між собою.

4. Недоліки класичної теорії електропровідності металів. Підбиваючи підсумок, можна сказати, що класична теорія електропровідності змогла пояснити закони Ома й Джоуля-Ленца, а також дала якісне пояснення деяким іншим законам. Разом з тим ця теорія зустрілася з досить істотними утрудненнями.

З формули (114.4) випливає, що опір металів (тобто величина, зворотна до ) повинна зростати

як корінь квадратний з температури. Дійсно, для припущення про залежність величин і від температури немає ніяких підстав. Швидкість же теплового руху пропорційна кореню з температури . Цей висновок теорії суперечить дослідним даним, згідно яким електричний опір металів росте пропорційно першого ступеня температури , тобто швидше, ніж .

Як відомо, при низьких температурах у металах спостерігається відсутність опору (явище надпровідності). Класична теорія електропровідності явище надпровідності не змогла пояснити.

Нарешті, класична теорія не змогла пояснити самого головного – чому електрони в металах виявляються вільними.

Недоліки класичної теорії електропровідності пов’язані з тим, що об’єкти мікросвіту, якими є електрони в металах, описуються квантовою, а не класичною механікою.