§109 Закон Ома для неоднорідної ділянки кола в диференціальній і інтегральній формі. Закон Ома для замкненого кола [5]

1. У неоднорідній ділянці на носії електричного струму діють як сили з боку електростатичного поля, так і сторонні сили. Зрозуміло, що рух носіїв струму буде визначати результуюча сила або результуюча напруженість, що відповідає цим силам . Виходячи з вищесказаного, можемо записати закон Ома в диференціальному вигляді для неоднорідної ділянки, використовуючи закон Ома для однорідної ділянки кола ( ), в якому замінимо напруженість електричного поля на результуючу напруженість . У результаті отримаємо

. (109.1)

Формула (109.1) виражає закон Ома в диференціальній формі для неоднорідної ділянки кола.

2. Запишемо закон Ома для неоднорідної ділянки кола в інтегральному вигляді. Для цього розглянемо циліндричний провідник із площею поперечного перерізу й довжиною . Припустимо, що напруженості й у всіх точках провідника однакові. Помножимо обидві частини рівності (109.1) на переміщення уздовж осі провідника й проінтегруємо отримане співвідношення по довжині провідника від 0 до . У результаті отримаємо

. (109.2)

Інтеграл, що стоїть ліворуч від знака рівності, дорівнює . Інтеграли праворуч дорівнюють відповідно різниці потенціалів між кінцями провідника й ЕРС , що діє в провіднику. Урахувавши це й замінивши на , а на , можна написати (109.2) у вигляді

.

Зрозуміло, що множник біля дорівнює опору провідника. Отже,

. (109.3)

Таким чином, отримали закон Ома для неоднорідної ділянки кола в інтегральній формі. У (109.3) сила струму й ЕРС є алгебраїчними величинами. Сила струму додатна, коли струм проходить в напрямку від кінця провідника 1 до кінця 2. ЕРС вважається додатною, коли вона сприяє руху додатних носіїв у напрямку 1–2.

3. Для замкненого кола (у замкненому колі точки 1 і 2 збігаються) й формула (109.3) отримує вигляд

, (109.4)

де – ЕРС, що діє в замкненому електричному колі; сумарний опір усього кола. Формула (109.4) виражає закон Ома для замкненого кола.

§110 Правила Кірхгофа [5]

Рисунок 110.1 – Вузол електричного кола. Сума струмів і дорівнює струму

1. В основі розрахунку розгалужених електричних кіл лежать два правила Кірхгофа. Перше правило відноситься до вузлів кола. Вузлами називаються точки, у яких сходяться більш ніж два провідники (рис. 110.1).

Перше правило Кірхгофа говорить, що алгебраїчна сума струмів, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю:

. (110.1)

У цій формулі струму, що проходить до вузла, приписується один знак (плюс або мінус), струму, що проходить від вузла, – інший знак.

Перше правило Кірхгофа випливає з наступних міркувань. У колі постійного струму потенціали у всіх точках повинні залишатися постійними. Якби алгебраїчна сума струмів була відмінна від нуля, то у вузлі відбувалося б нагромадження або зменшення зарядів, що у свою чергу приводило б до зміни потенціалу вузла.

Рівняння (110.1) можна написати для всіх вузлів. Однак незалежними будуть тільки рівняння, -е рівняння буде наслідком інших.

2. Друге правило відноситься до будь-якого замкненому контура, який виділено уявно в розгалуженому колі (рис. 110.2). Виберемо напрямок обходу (наприклад, за годинниковою стрілкою, як показано на рисунку) і застосуємо до кожної з ділянок контура закон Ома:

Якщо скласти ці рівності, потенціали скоротяться й отримаємо рівняння

, (110.2)

яке виражає друге правило Кірхгофа.

Рівняння (110.2) можна скласти для всіх замкнених контурів, які можна виділити в даному електричному колі. Однак незалежними будуть тільки рівняння для тих контурів, які не можна отримати накладенням на них інших контурів. Наприклад, контур 1–2–3–4–1 на рис. 110.2 отримаємо накладенням контурів 1–2–4–1 і 2–3–4–2. Тому незалежними будуть рівняння для будь-яких двох контурів із цих трьох.

Рисунок 110.2 – Суцільними лініями показаний замкнений контур 1–2–3–4–1, який виділено у складному розгалуженому колі. З інших ланок кола зображена штриховою лінією лише ділянка 2–4

При складанні рівнянь напрямки струмів і напрямок обходу можна вибирати довільно. Струмам і ЕРС потрібно приписувати знаки у відповідності до обраного напрямку обходу. Наприклад, струм на рис. 110.2 потрібно вважати від’ємним (і підставляти в рівняння ), тому що він зображений як такий, що проходить назустріч напрямку обходу. ЕРС і також потрібно вважати від’ємними, оскільки вони діють у напрямку, протилежному напрямку обходу (викликають струм, напрямок якого протилежний до напрямку обходу контура). Якщо для деякого струму буде отримане від’ємне значення, це буде означати, що в дійсності він проходить в напрямку, який є протилежним до зазначеного на рисунку.

Потрібно мати на увазі, що через будь-який перетин нерозгалуженої ділянки кола проходить один і той самий струм. Наприклад, на ділянці від точки 1 до джерела струму проходить такий самий струм як і на ділянці від джерела до точки 2.

Число незалежних рівнянь, складених за першим та другим правилах Кірхгофа, дорівнює кількості струмів, що проходять у різних ланках кола. Тому, якщо задані ЕРС і опори, то можна обчислити усі струми. Можна вирішити й завдання іншого роду, наприклад, знайти ЕРС (або опори), які потрібно включити в кожну ланку кола, щоб отримати при заданих опорах (або ЕРС) потрібні струми.