§105 Енергія електричного поля [5]

1. Знайдемо густину енергії електричного поля. Для цього виразимо енергію зарядженого плоского конденсатора через характеристики поля в зазорі між обкладками.

Якщо у вираз для енергії конденсатора

підставити формулу для ємності конденсатора

,

то отримаємо співвідношення

.

У цій формулі – напруга на обкладках, та відповідно площа та відстань між обкладками; – діелектрична проникність середовища між обкладками.

Для однорідного поля конденсатора , звідси, напруженість електричного поля між обкладками конденсатора . Добуток дорівнює об'єму конденсатора, тобто об'єму, у якому зосереджене поле. Отже,

. (105.1)

У плоскому конденсаторі поле є однорідним. Тому енергія розподілена в об'ємі конденсатора рівномірно. Отже, густина енергії електричного поля (енергія в одиниці об'єму) буде дорівнювати

.

Якщо врахувати зв’язок між електричним зміщенням та напруженістю електричного поля , то отриману формулу можна подати у вигляді

. (105.2)

Вирази (105.2) визначають густину енергії електричного поля.

Ми отримали формули (105.2) для випадку, коли поле є однорідним. Однак ці формули є також справедливими для будь-якого електричного поля. Якщо поле є неоднорідним, то густина енергії в деякій точці визначається за формулами (105.2) підстановкою значень (або ) і в точці .

2. Формула зв'язує енергію конденсатора із зарядами на його обкладках, формула – з напруженістю електричного поля, яке створили заряди. Виникає питання, де ж локалізована (тобто зосереджена) енергія? Що є носієм енергії – заряди чи поле? У рамках електростатики, що вивчає сталі у часі поля нерухомих зарядів, дати відповідь на це питання неможливо. Постійні електричні поля і заряди, що їх створили, не можуть існувати відокремлено один від одного. Однак поля, що змінюються у часі, можуть існувати незалежно від зарядів, що їх створили, і поширюються у просторі у вигляді електромагнітних хвиль. Дослід показує, що електромагнітні хвилі переносять енергію. Так, енергія доставляється на Землю від Сонця електромагнітними хвилями. Отже, носієм енергії є не заряди, а поля.

Знаючи густину енергії електричного поля в кожній точці, можна знайти енергію поля в будь-якому об'ємі . Для цього потрібно обчислити інтеграл

. (105.3)

Таким чином, за допомогою формули (105.3) можна обчислити енергію електричного поля в будь-якому об’ємі.

Тема 18 Постійний електричний струм §106 Електричний струм. Густина електричного струму з мікроскопічної точки зору. Рівняння неперервності для електричного заряду [5,9]

1. Електричним струмом називається впорядкований рух електричних зарядів. Носіями струму можуть бути електрони, а також позитивні й від’ємні іони, тобто атоми або молекули, що втратили або приєднали до себе один або кілька електронів.

Носії струму у звичайному стані перебувають у хаотичному тепловому русі. Через уявну площу переноситься в обох напрямках однаковий заряд і тому електричний струм відсутній. При наявності електричного поля на хаотичний рух накладається впорядкований рух носіїв – виникає електричний струм.

Кількісною характеристикою електричного струму служить величина заряду, яка переноситься через розглянуту поверхню за одиницю часу. Її називають силою електричного струму:сила. Відзначимо, що сила струму є за своєю суттю потоком заряду через поверхню. Якщо за час через поверхню переноситься заряд , то сила струму дорівнює

. (106.1)

Струм, що не змінюється з часом, називається постійним. Одиницею сили струму є ампер (А). Його визначення буде дано пізніше. У міжнародній системі одиниць СІ ампер є основною одиницею.

2. Електричний струм може бути розподілений у просторі, де він тече, нерівномірно. Більш детально можна охарактеризувати струм за допомогою векторної величини , яку називають густиною електричного струму. Щоб визначити густину електричного струму в деякій точці простору, потрібно взяти в цій точці елементарну площадку , яка є перпендикулярною до напрямку впорядкованого руху носіїв струму. Розділивши силу струму , що тече через цю площадку, на , отримаємо модуль густини струму:

. (106.2)

За напрямок вектора береться напрямок швидкості впорядкованого руху додатних носіїв.

Якщо вектор густини струму відомий, то можна обчислити силу струму, що протікає через будь-яку уявну поверхню . Для цього потрібно розбити на елементарні площадки . Згідно (106.2) струм через площадку дорівнює

,

де – кут між перпендикуляром до площі та напрямком вектора . Підсумувавши струми через всі елементарні площі, отримаємо силу струму, що тече через поверхню :

. (106.3)

Звідси випливає, що сила струму дорівнює потоку вектора густини струму через задану поверхню.

Рисунок 106.1 – Через площу пройдуть за час всі носії струму, що знаходяться в циліндрі висотою . Їх сумарний заряд дорівнює

3. Знайдемо зв’язок густини електричного струму з швидкістю носіїв електричного струму (густина електричного струму з мікроскопічної точки зору).

Виділимо подумки в середовищі, в якому тече струм, довільний фізично нескінченно малий об'єм і позначимо через середній вектор швидкості носіїв у цьому об'ємі. Його називають середньою, дрейфовою або впорядкованою швидкістю руху носіїв струму. Позначимо далі через концентрацію носіїв струму, тобто число їх в одиниці об'єму. Проведемо нескінченно малу площадку , що перпендикулярна до швидкості . Побудуємо на ній нескінченно короткий прямий циліндр із висотою , як зазначено на рис. 106.1. Всі частинки, що знаходяться усередині цього циліндра, за час пройдуть через площадку і перенесуть через неї в напрямку швидкості електричний заряд , де – електричний заряд носіїв струму. Далі використаємо визначення сили електричного струму і густини електричного струму і отримуємо

.

Тобто густина електричного струму дорівнює

. (106.4)

У випадку кількох типів зарядів, які створюють електричний струм, густина електричного струму визначається виразом

, (106.5)

Рисунок 106.2

де підсумовування ведеться за усіма типами носіїв електричного струму ( означають концентрацію, заряд та впорядковану швидкість -го носія).

4. Одним із фундаментальних фізичних законів є закон збереження електричного заряду. Виразимо його математично через макроскопічні величини: густину електричного заряду і густину електричного струму . Візьмемо в середовищі довільну замкнену поверхню , що обмежує об'єм (рис. 106.2). Кількість електричного заряду, що за одиницю часу витікає з об'єму через поверхню (сила електричного струму), можна подати інтегралом (див. 106.3) . Цю ж величину можна подати у вигляді , де – заряд, що знаходиться в об’ємі (знак мінус пов’язаний з тим, що коли густина електричного струму є додатною, то заряд всередині об’єму зменшується). Прирівнюючи обидва вирази, отримаємо математичне формулювання закону збереження електричного заряду в інтегральному вигляді

. (106.6)

Тут ми використовуємо символ частинної похідної , щоб підкреслити, що поверхня повинна залишатися нерухомою.

Знайдемо диференціальний вигляд співвідношення (106.6). Представивши у вигляді і перетворивши поверхневий інтеграл в об'ємний за допомогою теореми Остроградського-Гаусса , прийдемо до співвідношення

.

Це співвідношення повинне виконуватися для довільного об'єму , а тому

. (106.7)

Формули (106.6) і (106.7) виражають закон збереження електричного заряду в макроскопічній електродинаміці. Остання формула називається також рівнянням неперервності.

Якщо струми є стаціонарними, тобто не залежать від часу, то формули (106.6), (106.7) переходять у

або . (106.9)