Тема 17 Енергія електричного поля §103 Енергія системи точкових зарядів [5]

1. Як відомо, кулонівські сили консервативні. Консервативним силам завжди у відповідність можна поставити потенціальну енергію. Отже, система точкових зарядів має взаємну потенціальну енергію. Щоб знайти вираз для цієї енергії, припустимо, що заряди послідовно переміщуються з нескінченності у відповідні точки поля (рис. 103.1). Почнемо із заряду . Його перенесення з нескінченності в точку 1 не вимагає виконання роботи, оскільки інші заряди віддалені від нього на нескінченність і з ним не взаємодіють .

Рисунок 103.1 – Послідовне пере-несення зарядів з нескінченності у відповідні точки простору

Для перенесення заряду з нескінченності в точку 2 потрібно виконати роботу проти сил електричного поля, яке створюється зарядом . Зрозуміло, що ця робота дорівнює добутку на потенціал поля, яке створюється зарядом у точці 2:

.

Для перенесення заряду з нескінченності в точку 3 потрібно виконати роботу, яка дорівнює добутку на потенціал поля, яке створюється зарядами й у точці 3:

.

Сума робіт чисельно буде дорівнювати енергії системи трьох зарядів:

.

Врахувавши, що, наприклад, отриманій формулі можна надати симетричний вигляд:

.

При підсумовуванні індекси й пробігають незалежно один від одного значення 1,2,3; доданки, у яких , виключаються.

Відзначимо, що отриманий нами вираз для енергії не залежить від того, у якій послідовності переносяться заряди з нескінченності у відповідні точки простору.

Можна переконатися у тому, що аналогічна формула має місце для системи будь-якого числа точкових зарядів з тією лише відмінністю, що індекси й пробігають при підсумовуванні значення 1,2,…, :

. (103.1)

Підкреслимо, що вираз (103.1) визначає роботу, яку потрібно виконати, щоб заряди, які спочатку знаходилися на нескінченно великих відстанях один від одного, розмістити в заданих точках простору. Ця робота залежить від відстаней між зарядами, тобто від конфігурації системи зарядів.

Формулі (103.1) можна надати вигляду

або , (103.2)

де

(103.3)

є потенціал електричного поля у точці, де знаходиться заряд , і який створюється усіма зарядами, крім заряду .

Таким чином, енергія взаємодії точкових зарядів визначається формулою (103.2), де потенціал визначається формулою (103.3).

§104 Енергія зарядженого провідника. Енергія зарядженого конденсатора [5]

1. Знайдемо енергію зарядженого провідника. Заряд , що знаходиться на деякому провіднику, можна розглядати як систему точкових зарядів . Тому для знаходження енергії зарядженого провідника використаємо формулу для потенціалу системи точкових зарядів

, (104.1)

де є потенціал електричного поля у точці, де знаходиться заряд , і який створюється усіма зарядами, крім заряду .

Точкові заряди виберемо так , щоб вклад окремого заряду в загальний потенціал провідника був дуже малим. Тому за потенціал у точці, де знаходиться заряд можна взяти загальний потенціал провідника . Як відомо, поверхня провідника є еквіпотенціальною. Тобто потенціал точок, у яких знаходяться точкові заряди , є однаковим і дорівнює потенціалу провідника.

Використовуючи вищесказане, знаходимо з (104.1) для енергії зарядженого провідника вираз

.

Далі використаємо визначення для електроємності відокремленого провідника і отримаємо

. (104.2)

Кожний з цих виразів у (104.2) визначає енергію зарядженого провідника.

2. Знайдемо енергію зарядженого конденсатора. Припустимо, що потенціал обкладки, на якій знаходиться додатний заряд ( ), дорівнює а потенціал обкладки, на якій знаходиться від’ємний заряд ( ), дорівнює . Тоді кожний з елементарних зарядів ( ), на які можна розділити додатний заряд ( ), знаходиться в точці з потенціалом , а кожний із зарядів ( ), на які можна розділити від’ємний заряд ( ), – у точці з потенціалом . Відповідно до формули (104.1) енергія такої системи зарядів дорівнює

.

Тут – напруга на конденсаторі. Взявши до уваги визначення для електроємності конденсатора , можна отримати вирази для енергії зарядженого конденсатора:

. (104.3)

Формули (104.3) відрізняються від формул (104.2) тільки заміною на .