§96 Вектор електричної індукції. Теорема Гаусса для діелектриків [9]

1. Джерелом електричного поля в електростатиці є електричні заряди і не важливо, чи вони є сторонніми, чи зв’язаними. Тому для обчислення електричного поля у діелектриках необхідно враховувати як вільні, так і сторонні електричні заряди. Це є відображенням того, що коли відомі всі первинні (сторонні) й індуковані (поляризаційні) заряди, то при обчисленні повного електричного поля можна «забути» про наявність речовини. Повне поле знайдеться суперпозицією полів, які збуджуються у вакуумі всіма первинними й індукованими зарядами. Тому теорему Гаусса для електричного поля у діелектрику потрібно записати у вигляді

, (96.1)

де та є відповідно вільні та сторонні заряди, які розміщені всередині поверхні . Візьмемо до уваги, що

.

Тоді отримаємо

, (96.2)

Введемо новий вектор

, (96.3)

який називається вектором електричної індукції або електричного зміщення. Тоді

. (96.4)

Вираз (96.4) і є теоремою Гаусса для електричного поля в діелектрику в інтегральній формі. Бачимо, що потік вектора через замкнену поверхню визначається тільки вільними зарядами всередині цієї поверхні. Саме цим і виправдовується введення вектора .

2. Використовуючи теорему Остроградського-Гаусса для вектора електричної індукції та зв’язок заряду з об’ємною густиною електричного заряду з (96.4) неважко знайти теорему Гаусса для електричного поля в діелектрику в диференціальному вигляді

. (96.5)

Нагадаємо, що теорема Гаусса є вірною не тільки в електростатиці, але й в електродинаміці.

§97 Поляризованість і діелектрична проникність [9]

1. Яким чином можна знайти напруженість електричного поля у діелектрику ? Зрозуміло, що електричне поле у речовині буде відрізнятися від зовнішнього через те, що в речовині індукуються поляризаційні заряди. Ці індуковані заряди створюють власне електричне поле , яке накладається на зовнішнє . Результуюче поле буде дорівнювати

. (97.1)

І при цьому потрібно врахувати, що поле поляризаційних зарядів визначається поляризаційними зарядами, які в свою чергу залежать від результуючого поля .

Принципово знайти напруженість електричного поля в діелектрику можна таким чином: 1) завдяки теоремі Гаусса для діелектрика можна знайти вектор індукції електричного поля , виходячи з інформації про сторонні заряди; 2) використовуючи отриману індукцію електричного поля та зв’язок між та , можемо знайти шукану напруженість електричного поля .

Таким чином, для розв’язання вище сформованої задачі потрібно знати зв’язок між напруженістю електричного поля та індукцією (або вектором поляризації ).

2. З’ясуємо зв’язок між напруженістю електричного поля та індукцією в діелектрику. Дослід показує, що для великого класу діелектриків і широкого кола явищ зв'язок між векторами і напруженістю поля є лінійним та однорідним. Якщо середовище ізотропне, то вектори й колінеарні й можна записати

, (97.2)

де – безрозмірний коефіцієнт, який називається діелектричною сприйнятливістю або поляризованістю діелектрика. Цей коефіцієнт залежить від густини й температури діелектрика.

Щоб знайти зв’язок між та використаємо визначення індукції електричного поля

. (97.3)

Далі підставляємо в (97.3) формулу (97.2) й отримуємо

, (97.4)

де нова безрозмірна величина

(97.5)

називається діелектричною проникністю діелектрика. Цією величиною звичайно й характеризуються індивідуальні властивості діелектриків. Для вакууму й . Формула (97.4) розв’язує вище сформоване завдання.