§90 Напруженість електричного поля нескінченної однорідно зарядженої пластини [2]

1. У випадку симетричного розподілу зарядів, а отже, і симетричних полів теорема Гаусса дозволяє знайти напруженість поля достатньо простим способом.

Коли заряд зосереджений у тонкому поверхневому шарі тіла, розподіл заряду характеризується за допомогою поверхневої густини , яка визначається виразом

. (90.1)

Тут під розуміємо площу малої ділянки поверхні; – заряд, що знаходиться на цій ділянці.

Знайдемо напруженість електричного поля нескінченної рівномірно зарядженої площини, яка має поверхневу густину електричного заряду . Для визначеності будемо вважати заряд додатним. З міркувань симетрії випливає, що напруженість поля в будь-якій точці направлена вздовж перпендикуляра до площини. Дійсно, оскільки площина нескінченна й заряджена однорідно, немає ніяких підстав до того, щоб вектор відхилявся в будь-який бік від нормалі до площини. Також очевидно, що в симетричних відносно площини точках напруженість поля однакова за величиною й протилежна за напрямком.

Рисунок 90.1

Виходячи з вище описаної симетрії поля, виберемо поверхню інтегрування у вигляді циліндра з твірними, які перпендикулярні до площини, і основами величиною , які розміщені відносно площини симетрично (рис. 90.1). Знайдемо потік вектора через цю поверхню інтегрування. У силу симетрії напруженість електричного поля на кожній основі за модулем є однаковою . Крім того для основ нормальна складова напруженості електричного поля збігається з . Тоді потік вектора через одну основу буде , а через обидві основи . Потік через бічну частину поверхні буде відсутній, оскільки у кожній її точці дорівнює нулю (вектор напруженості електричного поля і нормаль до бічної поверхні взаємно перпендикулярні). Тому потік вектора через поверхню інтегрування буде дорівнювати

. (90.2)

Заряд, що знаходиться всередині поверхні інтегрування (обмежено поверхню інтегрування) неважко знайти (див. рис. 90.1)

. (90.2)

Далі використаємо теорему Гаусса, згідно якої

, (90.3)

де – заряд, який знаходиться всередині поверхні інтегрування.

Підставляємо (90.1) й (90.2) в (90.3) і отримуємо шукану напруженість електричного поля однорідно зарядженої нескінченної пластини

. (90.4)

Таким чином, напруженість електричного поля нескінченно зарядженої площини не залежить від відстані до неї. Відзначимо також, що по різні сторони від площини вектори однакові за модулем, але протилежні за напрямком. Тому при переході через заряджену площину напруженість електричного поля змінюється стрибком.

§91 Напруженість електричного поля однорідно зарядженої циліндричної поверхні [2]

1. Якщо заряд знаходиться на дуже тонкому «ниткоподібному» провіднику, розподіл заряду вздовж нитки характеризують за допомогою лінійної густини , що визначається виразом

, (91.1)

де – фізично нескінченно малий відрізок нитки; – заряд, що знаходиться на цьому відрізку.

Знайдемо напруженість електричного поля нескінченної циліндричної поверхні радіуса , яка заряджена однорідно з лінійною густиною (рис. 91.1). З міркувань симетрії випливає, що напруженість поля в будь-якій точці повинна бути направлена уздовж радіальної прямої, яка перпендикулярна до осі циліндра, а величина напруженості може залежати тільки від відстані до осі циліндра.

Рисунок 91.1

Виходячи з вище описаної симетрії поля, виберемо поверхню інтегрування у вигляді коаксіального із зарядженою поверхнею циліндра радіуса й висоти h (рис. 91.1). Знайдемо потік вектора через цю поверхню. Нормальні складові вектора напруженості на бічній поверхні будуть дорівнювати (заряд вважаємо додатним), на основі циліндра (вектор напруженості електричного поля і нормаль до основи взаємно перпендикулярні). Тому потік вектора через замкнену поверхню інтегрування буде дорівнювати

. (91.2)

Тепер знайдемо заряд всередині поверхні інтегрування. Тут потрібно розглянути два випадки. У випадку, коли радіус поверхні інтегрування більше або дорівнює радіусу циліндра , заряд всередині поверхні інтегрування дорівнює, як це випливає з рисунка,

, коли . (91.3)

Коли ж , то поверхня інтегрування знаходиться всередині циліндричної поверхні, на якій розміщено електричний заряд. Тому в цьому випадку всередині поверхні інтегрування заряд буде дорівнювати нулю

, коли . (91.4)

Тепер використаємо теорему Гаусса

. (91.5)

Підставивши в (91.5) формули (91.2) й (91.3) для першого випадку отримаємо

або , коли . (91.6)

Для другого випадку підставляємо в (91.5) формули (91.2) й (91.4). Звідси,

, коли . (91.7)

Таким чином, отримали формули (91.6) та (91.7), які визначають напруженість електричного поля від нескінченної циліндричної поверхні радіуса , яка заряджена однорідно з лінійною густиною .