§62 Теплоємність. Питома й молярна теплоємність. Теплоємність при постійному тиску, при постійному об'ємі. Внутрішня енергія ідеального газу. Рівняння Майєра. Стала адіабати [4]

1. Теплоємністю тіла називається величина, що дорівнює кількості теплоти, яку потрібно передати тілу, щоб підвищити його температуру на один градус Кельвіна. Тобто

,

де – кількість теплоти, передача якої підвищує температуру тіла на . Теплоємність тіла виміряється в джоулях на кельвін (Дж/К).

Питомою теплоємністю називають теплоємність одиниці маси речовини :п

,

де – маса тіла. Виміряється вона в джоулях на кілограм-кельвін (Дж/(кг∙К)).

Молярною теплоємністю називають теплоємність моля речовини .

,

де – кількість молів речовини тіла. Виміряється вона в джоулях на моль-кельвін (Дж/(моль∙К)).

Питома й молярна теплоємності пов'язані співвідношенням

. (62.1)

Теплоємність залежить від умов, при яких відбувається нагрівання тіла. Найбільш цікавими є теплоємності для випадків, коли нагрівання виконується при сталому об'ємі або при сталому тиску. У першому випадку ми маємо справу з теплоємністю при сталому об'ємі (позначається ), у другому – з теплоємністю при сталому тиску ( ).

2. З’ясуємо зв’язок між внутрішньою енергією та теплоємністю газу. Якщо нагрівання має місце при сталому об'ємі, то тіло не виконує роботу над зовнішніми тілами й, отже, уся теплота йде на збільшення внутрішньої енергії тіла: (див. формулу першого закону термодинаміки; індекс біля підкреслює ту обставину, що теплота передається в умовах, коли об'єм тіла не змінюється). Звідси випливає, що молярна теплоємність будь-якої речовини при сталому об'ємі дорівнює

. (62.2)

У термодинаміці подібні вирази прийнято записувати у вигляді

. (62.3)

Символ частинної похідної з індексом вказує на те, що при диференціюванні функції за змінною об'єм вважається сталим.

Дослідним шляхом установлено, що в газах, які близькі за своїми властивостями до ідеального газу, теплоємність при сталому об'ємі в широких температурних інтервалах практично не залежить від температури: . Тоді відповідно до формули (62.2)

.

Інтегруємо це співвідношення і знаходимо вираз для внутрішньої енергії одного моля ідеального газу

(ми врахували, що ). Відомо, що внутрішня енергія визначається з точністю до довільної адитивної сталої. Тому константу у виразі для можна взяти як таку, що дорівнює нулю. У результаті отримуємо

. (62.4)

Внутрішня енергія – величина адитивна. Тоді внутрішня енергія маси газу буде дорівнювати

. (62.5)

Таким чином, отримали співвідношення (62.5) для внутрішньої енергії ідеального газу.

3. Знайдемо зв’язок між теплоємностями та . Для цього використаємо рівняння першого закону термодинаміки для моля газу. Візьмемо до уваги, що . Будемо розглядати процес, коли теплота передається газу при сталому тиску:

( – об'єм моля; індекс біля вказує на те, що теплота передається газу в умовах, коли тиск залишається сталим). Розділивши цей вираз на збільшення температури , яке має місце через передачу газу теплоти , прийдемо до формули для молярної теплоємності газу при сталому тиску:

.

Відповідно до формули (62.2) доданок дорівнює молярній теплоємності при сталому об'ємі. Урахувавши це, прийдемо до співвідношення

. (62.6)

Ми не робили ніяких припущень про властивості газу, тому формула (62.6) справедлива для будь-яких газів. Тепер припустимо, що газ ідеальний. Відповідно до рівняння стану ідеального газу (рівняння Менделєєва-Клапейрона) . Диференціюємо цей вираз за величиною в припущенні, що , й отримаємо

. (62.7)

Підстановка цього значення похідної в (62.7) приводить до співвідношення

. (62.8)

Таким чином, отримали важливе співвідношення між та (62.8), яке називається рівнянням Майєра. Підкреслимо, що співвідношення (62.8) справедливе тільки для ідеального газу.

4. Експериментально більш зручно визначати не та , а їх відношення

. (62.9)

Відношення (62.9) являє собою характерну для кожного газу величину і називається сталою адіабати. Далі ми встановимо, що значення визначається числом і характером ступенів вільності молекул.

Знайдемо вираз для внутрішньої енергії через сталу адіабати. Відповідно до рівняння Майєра (62.8)

, (62.10)

звідки

. (62.11)

Підставивши цей вираз для в (62.5), отримаємо для внутрішньої енергії ідеального газу формулу

. (62.12)

Врахуємо, що у відповідності до рівняння Менделєєва-Клапейрона прийдемо до ще одного виразу для внутрішньої енергії довільної маси ідеального газу:

. (62.13)

Таким чином, отримали ще співвідношення (62.12) та (62.13) для внутрішньої енергії ідеального газу.