§54 Рівняння стану термодинамічної системи. Рівняння стану ідеального газу як результат узагальнення експериментальних досліджень [4]

1. Параметри стану термодинамічної системи пов'язані один з одним. Співвідношення, яке визначає зв'язок між параметрами стану тіла, називається рівнянням стану цього тіла.

У найпростішому випадку рівноважний стан тіла визначається значеннями трьох параметрів: тиску , об'єму й температури (маса тіла вважається відомою). Зв'язок між цими параметрами може бути виражений формулою

, (54.1)

де – деяка функція параметрів. Рівняння (54.1) і є рівняння стану даного тіла.

Рівняння стану у термодинаміці встановлюються експериментально і відіграють важливу роль для опису властивостей речовин (чи це твердий, рідкий або газоподібний стан).

2. Розглянемо рівняння стану ідеального газу. Ідеальним газом називають такий газ, взаємодією між молекулами якого можна знехтувати (між молекулами відбуваються лише короткочасні зіткнення, які носять пружний характер).

Дослідним шляхом було встановлено, що при звичайних умовах (тобто при кімнатній температурі й нормальному атмосферному тиску) параметри стану таких газів, як кисень і азот, досить добре описуються рівнянням

, (54.3)

де – константа, яка пропорційна масі газу. Виявилося також, що чим більш розріджений газ (чим менше його густина), тим точніше виконується це рівняння. Рівняння (54.3) отримало назву рівняння Клапейрона.

Згідно до закону Авогадро при нормальних умовах, тобто при температурі 0 (273,15 ) і тиску в одну атмосферу (1,013∙10⁵ Па), об'єм одного моля будь-якого газу дорівнює 22,4 л/моль = 22,4∙10^–3 м³/моль.

Звідси випливає, що у випадку, коли кількість газу дорівнює одному молю, константа в рівнянні (54.3) буде однаковою для всіх газів. Позначивши константу для одного моля буквою , напишемо рівняння стану ідеального газу у вигляді

. (54.4)

Індекс « » біля вказує на те, що йдеться мова про об'єм одного моля газу (молярний об'єм). Константа називається газовою сталою. Відповідно до закону Авогадро

Дж/(моль∙°К). (54.5)

Щоб отримати рівняння стану для довільної маси ідеального газу, помножимо обидві частини рівняння (54.4) на відношення де – молярна маса газу:

.

При однакових і газ маси буде займати об'єм у раз більший, ніж , тому . Таким чином, ми приходимо до рівняння

, (54.6)

яке називають рівнянням Менделєєва-Клапейрона.

Помножимо й розділимо праву частину рівняння (54.6) на сталу Авогадро :

. (54.7)

Тут – число молекул, які знаходяться в масі газу. Величина

Дж/°К (54.8)

називається сталою Больцмана.

З урахуванням (54.8) рівнянню (54.7) можна надати вигляд

. (54.9)

Розділимо обидві частини цього рівняння на об'єм газу . Відношення дає число молекул в одиниці об'єму газу, яке ми будемо позначати буквою й називати концентрацією молекул. Отже,

. (54.10)

Рівняння (54.3), (54.6) і (54.10) являють собою різні форми запису рівняння стану ідеального газу.

§55 Барометрична формула [4]

Рисунок 55.1

1. Відомо, що атмосферний тиск зменшується з висотою. Знайдемо функцію , яка описує залежність тиску від висоти і отримаємо ще одне рівняння стану.

Розглянемо уявно в атмосфері вертикальний стовп із площею поперечного перерізу (рис. 55.1). Виділимо малий об’єм повітря у цьому стовпі висотою , який розміщено на висоті : . Маса об’єму дорівнює , де – густина повітря в об’ємі на висоті . Проекції на вертикальну вісь сил, що діють на цей об’єм такі: – проекція сили з боку нижніх шарів повітря ( – тиск на висоті ), проекція сили тиску з боку верхніх шарів повітря ( – тиск на висоті ), – проекція сили тяжіння повітря досліджуваного об’єму. Зрозуміло, що виділений об’єм повітря знаходиться в стані рівноваги. Це означає, що рівнодійна сила, яка діє на цей об’єм дорівнює нулю

або

.

Звідси отримуємо

. (55.1)

При умовах, близьких до нормальних (тобто при тисках порядку атмосфери й температурах, близьких до 0°С), повітря досить добре задовольняє рівняння Менделєєва – Клапейрона. З цього рівняння випливає, що густина ідеального газу, тобто маса одиниці об'єму дорівнює

. (55.2)

Підстановка цього виразу у формулу (55.1) приводить до рівняння

. (55.3)

Тут під маємо на увазі молярну масу повітря. Розділивши змінні, прийдемо до диференціального рівняння

. (55.4)

Щоб проінтегрувати це рівняння, потрібно знати, як змінюється з висотою температура, тобто визначити вид функції (залежністю від можна знехтувати).

Для ізотермічної атмосфери, тобто для випадку, коли температура з висотою не змінюється, інтегрування рівняння (55.4) приводить до співвідношення

(маючи на увазі подальші перетворення, ми позначили постійну інтегрування через ). Потенціюючи це співвідношення, прийдемо до формули

.

Поклавши , отримаємо, що , де – атмосферний тиск на висоті, яка прийнята за початок відліку висоти .

Таким чином, для ізотермічної атмосфери залежність тиску від висоти описується формулою

, (55.5)

яка називається барометричною формулою.

У дійсності температура атмосфери помітно змінюється з висотою, досягаючи на висоті 10 км значень, на кілька десятків кельвін менших, ніж на поверхні Землі. Однак відносне (порівняно з температурою, яка дорівнює приблизно 300°К) зміна температури з висотою не дуже велика, внаслідок чого формула (55.5) дозволяє визначати досить точно висоту, вимірюючи тиск. Призначений для цієї мети, проградуйований у значеннях висоти барометр називається альтиметром. Такі висотоміри встановлюються, зокрема, на літаках.