§48 Кінетична енергія в спеціальній теорії відносності [4]

1. Знайдемо вираз для кінетичної енергії в спеціальній теорії відносності. Будемо виходити з того, що в спеціальній теорії відносності виконується теорема про кінетичну енергію. Також використаємо релятивістське рівняння динаміки.

Відповідно до теореми про кінетичну енергію, робота, яка виконана над тілом, дорівнює збільшенню його кінетичної енергії:

. (48.1)

Елементарну роботу знайдемо, використовуючи її визначення та релятивістське рівняння динаміки:

.

Тут використали визначення швидкості . Далі підставляємо отриманий вираз у (48.1)

Перетворимо цей вираз, користуючись правилом диференціювання добутку функцій:

.

Приведемо отриманий вираз до загального знаменника й врахуємо, що , . У результаті отримаємо

Легко перевірити диференціюванням, що

Отже,

Функції, диференціали яких рівні один одному, можуть відрізнятися тільки на постійну величину. Тому

(48.2)

Кінетична енергія частинки, як відомо з ньютонівської механіки, стає рівною нулю, коли швидкість частинки дорівнює нулю . Використовуємо цю умову в (48.2) і знаходимо невідому константу

.

Підставляємо значення константи в (48.2) і отримуємо шукану формулу для кінетичної енергії в спеціальній теорії відносності

. (48.3)

2. Проаналізуємо отриманий вираз у нерелятивістському випадку, тобто коли . Для цього виконаємо такі перетворення

.

Таким чином, формула для кінетичної енергії в спеціальній теорії відносності за умови, коли швидкість набагато менша за швидкість світла, переходить у вираз для кінетичної енергії ньютонівської механіки: . Це узгоджується з тим, що при швидкостях набагато менших за швидкість світла формули релятивістської механіки повинні переходити у відповідні формули ньютонівської механіки.

§49 Енергія спокою. Повна енергія. Взаємозв'язок маси й енергії спокою [4]

1. З’ясуємо, які умови потрібно виконати, щоб закон збереження енергії був інваріантним по відношенню до перетворень Лоренца.

Як показують відповідні розрахунки, збереження енергії виявляється інваріантним тільки у тому випадку, коли припустити, що вільна частинка, крім кінетичної енергії, також має додаткову енергію

, (49.1)

яка називається енергією спокою. Вона представляє собою внутрішню енергію частинки.

Тоді сума енергії спокою та кінетичної енергії, яку в релятивістській механіці називають повною енергією, буде дорівнювати

. (49.2)

Зазначимо, що термін «повна енергія» має в релятивістській механіці інший зміст, чим у ньютонівській механіці. У ньютонівській механіці повною енергією називається сума кінетичної й потенційної енергій частинки. У релятивістській механіці під повною енергією мається на увазі сума кінетичної енергії й енергії спокою частинки.

2. Як бачимо (див. (49.2)), повна енергія визначається лише швидкістю та масою частинки. Релятивістський імпульс частинки також визначається тільки швидкістю та її масою. Знайдемо зв’язок між повною енергією та імпульсом частинки.

Порівняємо формулу для релятивістського імпульсу

та формулою для повної енергії (49.2). З порівняння випливає, що імпульс і повна енергія частинки пов'язані співвідношенням

або . (49.3)

Підставляємо , який отримали в (49.3), в (49.2) і знаходимо

або

. (49.4)

Швидкість і маса є інваріантами. Отже, і вираз являє собою інваріант, тобто має однакове числове значення у всіх інерціальних системах відліку. При переході від однієї системи відліку до іншої повна анергія й імпульс змінюються, однак числове значення виразу (49.4) залишається однаковим.

3. З формули для енергії спокою (49.1) випливає, що всяка зміна маси тіла супроводжується зміною енергії спокою , при цьому ці зміни пропорційні одна одній:

(49.5)

Це твердження називають законом взаємозв'язку маси й енергії спокою (іноді для стислості говорять просто про енергію).

Взаємозв'язок маси і енергії приводить до того, що сумарна маса частинок, які взаємодіють між собою, не зберігається. Переконаємося в цьому на такому прикладі. Нехай дві однакові частинки масою , які рухаються з рівними за модулем й протилежно направленими швидкостями, мають абсолютно непружне зіткнення, у результаті якого утвориться нова частинка. Як випливає з закону збереження імпульсу, швидкість цієї нової частинки дорівнює нулю. До зіткнення повна енергія кожної частинки дорівнює . Повна енергія частинки, що утворилась, дорівнює , де – маса нової частинки. Із закону збереження енергії випливає, що . Звідки

.

Таким чином, маса частинки, що утворилася, більша суми мас вихідних частинок. Це обумовлено тим, що кінетична енергія частинок перетворилася в еквівалентну кількість енергії спокою, а це, у свою чергу, привело до зростання маси на .

При розпаді нерухомої частинки на декілька частинок, що розлітаються у різні сторони, спостерігається зворотне явище – сума мас частинок, які утворилися, виявляється меншою маси вихідної частинки на величину, яка дорівнює сумарній кінетичній енергії цих частинок, що поділена на .

В основі роботи атомних електростанцій лежить ланцюгова реакція розподілу ядер урану. Сумарна маса осколків, що утворилися при розпаді менше маси ядра урану. Тому процес розпаду супроводжується зменшенням енергії спокою частинок. Різниця енергій спокою перетворюється в кінетичну енергію осколків і в енергію електромагнітного випромінювання, яке виникає при розпаді.