§46 Інтервал і його інваріантність. Швидкість світла як гранична швидкість поширення довільного сигналу [4]

1. Нехай у точці в момент часу відбулася подія 1, а у точці в момент часу – подія 2. Вираз

(46.1)

називають інтервалом між подіями 1 та 2. Основною особливістю інтервалу є те, що його величина є інваріантною, тобто він набуває одне і те ж значення у всіх інерціальних системах відліку.

2. Доведемо інваріантність інтервалу. Знайдемо інтервал в системі , що рухається зі швидкістю відносно нерухомої системи , і в системі й порівняємо їх значення. Для вирішення цієї задачі використаємо перетворення Лоренца

, (46.2)

. (46.3)

Підставимо (46.2), (46.3) в (46.1) і отримаємо

.

Таким чином, , тобто інтервал має однакові значення в системі відліку та в системі відліку . Значить інтервал є інваріантною величиною.

3. Розглянемо визначення інтервалу (46.1). Зазначимо, що інтервал може бути дійсною величиною, або уявною величиною. Внаслідок інваріантності інтервал буде дійсним або уявним, або рівним нулю у всіх інерціальних системах відліку.

Для дійсного інтервалу

. (46.4)

Звідси випливає, що існує така система , в якій . Тобто події, які характеризуються дійсним інтервалом, можуть відбуватися в системі в одній і тій же точці простору. При цьому не існує системи, у якій (при такому значенні інтервал став би уявним). Таким чином, події, які розділені дійсним інтервалом, ні в якій системі відліку не можуть бути одночасними. Відповідно до цього дійсні інтервали називаються часоподібними.

Для уявного інтервалу

. (46.5)

Отже, існує така система , в якій , тобто події стають одночасними. Однак не існує системи, у якій (при такому значенні інтервал став би дійсним). Таким чином, події, які визначаються дійсним інтервалом, ні в якій системі відліку не можуть відбуватися в одній і тій же точці простору. Відповідно до цього уявні інтервали називають простороподібними.

4. Нехай подія 1 буде причиною, а подія 2 – наслідком. Тобто події 1 і 2 пов’язані між собою причинно-наслідковим зв’язком. Про ці події також говорять як про поширення сигналу. З’ясуємо, який інтервал відповідає цим причинно-наслідковим подіям.

Через те, що в довільній системі відліку час наслідку не повинен бути більшим за час причини , тобто , то це означає інтервал, який описує ці події повинен бути або дійсним (часоподібним), або дорівнювати нулю

.

Звідси випливає для причинно-наслідкових подій (процесу поширення сигналу) має місце

або . (46.6)

Таким чином, події, що пов’язані причинно-наслідковим зв’язком, або процес поширення сигналу описуються часоподідним інтервалом або інтервалом, який дорівнює нулю. З (46.6) також виплаває, що максимальна швидкість сигналу будь-якої природи не може перевищувати швидкість світла . Випадку, коли сигнал поширюється зі швидкістю світла, відповідає інтервал, який дорівнює нулю.

§47 Закон збереження імпульсу в спеціальній теорії відносності. Релятивістське рівняння динаміки [4]

Рисунок 47.1

1. Згідно принципу відносності Ейнштейна усі закони природи, в тому числі й закон збереження імпульсу, повинні бути інваріантними по відношенню до перетворень Лоренца. Перевіримо, чи є інваріантним відносно перетворення Лоренца закон збереження імпульсу у вигляді, у якому він був сформульований у ньютонівській механіці.

Для цього розглянемо абсолютно непружне центральне зіткнення двох однакових частинок маси . При зазначених на рис. 47.1 умовах сумарний імпульс частинок зберігається в системі (до й після зіткнення він дорівнює нулю). У цій системі компоненти швидкостей частинок дорівнюють , . Зрозуміло, що після зіткнення швидкості частинок у системі будуть дорівнювати нулю.

Перейдемо в систему . Відповідно до формули додавання швидкостей, яка була отримана на базі перетворення Лоренца, можемо записати

,

.

Таким чином, до зіткнення проекція на вісь сумарного імпульсу частинок дорівнює

. (47.1)

Після зіткнення частинки у системі мають швидкість, що дорівнює нулю. Це означає, що їх швидкість відносно системи дорівнює . Тому проекція сумарного імпульсу після зіткнення дорівнює . Таким чином

.

Отриманий нами результат означає, що в системі закон збереження імпульсу, визначеного як , не виконується. Тільки за умови, що швидкості частинок набагато менші , відмінністю виразу (47.1) від можна знехтувати. Звідси випливає, що визначення імпульсу у вигляді є придатним тільки за умови, що . Для швидкостей порівнянних зі швидкістю світла у вакуумі, імпульс повинен бути визначений якось інакше, причому при це новий вираз для імпульсу повинен переходити в ньютонівський .

2. Виявляється, для того щоб закон збереження імпульсу був інваріантним по відношенню до перетворень Лоренца необхідно:

1. Імпульс замінити на релятивістський імпульс .

2. Припустити, що частинка має енергію спокою, яка пов’язана з його масою. При цьому також вважати можливим взаємне перетворення маси та енергії.

3. Для того, щоб другий закон Ньютона був інваріантним по відношенню до перетворення Лоренца його також потрібно змінити

. (47.2)

Рівняння (47.2) є релятивістським рівнянням динаміки для матеріальної точки. Аналізуючи (47.2), бачимо, що в релятивістському випадку маса втрачає зміст коефіцієнта пропорційності між прискоренням і силою. Більше того, напрямки сила та прискорення можуть не збігатися. Крім того, на відміну від ньютонівської механіки сила у релятивістській механіці не є інваріантною (у різних інерціальних системах відліку вона має різні модулі й напрямки).