§44 Лоренцеве скорочення довжини [4]

Рисунок 44.1

1. Порівняємо довжину стержня в інерціальних системах відліку й (рис. 44.1). Припустимо, що стержень розміщено уздовж осей і , які збігаються. У системі стержень знаходиться у стані спокою. Відносно системи він рухається зі швидкістю , яка дорівнює швидкості системи відносно системи .

Для визначення довжини стержня в системі , де стержень знаходиться у стані спокою, потрібно прикласти до нього масштабну лінійку й визначити координату одного кінця стержня, а потім координату іншого кінця. Різниця координат дасть довжину стержня в системі :

.

Довжину , що виміряна в системі відліку, в якій тіло знаходиться у стані спокою, називають власною довжиною.

У системі виміряти довжину стержня складніше. Відносно системи стержень рухається зі швидкістю , яка дорівнює швидкості , з якою система рухається відносно системи . Оскільки стержень рухається, потрібно визначити координати його кінців і в один і той же момент часу . Тут момент часу, коли проводимо вимірювання координати , момент часу, коли проводимо вимірювання координати . Різниця координат дасть довжину стержня в системі :

.

Щоб порівняти довжини і використаємо формули перетворення Лоренца

.

Звідси

.

Замінивши різниці координат довжинами стержня, а швидкість системи відносно , що дорівнює швидкості стержня , з якої він рухається в системі , прийдемо до формули

. (44.1)

Таким чином, довжина стержня, що рухається, виявляється менше тієї, яку він має у стані спокою. Аналогічний ефект спостерігається для тіл будь-якої форми: у напрямку руху лінійні розміри тіла скорочуються тим більше, чим більше швидкість руху. Це явище називається скороченням довжини Лоренца. Поперечні розміри тіла не змінюються. У результаті цього, наприклад, куля набуває форму еліпсоїда, сплющеного у напрямку руху.

§45 Релятивістське уповільнення ходу часу [4]

1. Порівняємо проміжки часу в інерціальних системах відліку й . Вважаємо, що система рухається відносно системи зі швидкістю .

Нехай у системі в одній і тій же точці з координатою відбуваються в моменти часу й дві якихось події ( – координата події 1, – координата події 2). Це можуть бути, наприклад, народження елементарної частки (подія 1) і її наступний розпад (подія 2). У системі ці події розділені проміжком часу

.

Знайдемо проміжок часу між цими подіями в системі , відносно якої система рухається зі швидкістю . Для цього визначимо в системі моменти часу й , що відповідають моментам і , і утворимо їхню різницю:

.

Для зіставлення часу в системі й використаємо перетворення Лоренца

.

Звідси знаходимо

. (45.2)

У системі події відбуваються в одній і тій же точці. Це означає, що є проміжком часу, який вимірюється нерухомим у цій системі відліку годинником. Такий час називається власним часом і позначається . Власним часом називають проміжок часу між двома подіями, який вимірюється в системі відліку, де ці події відбуваються в одній і тій же точці. Таким чином, .

Величина являє собою проміжок часу між тими ж подіями, які вимірюються годинниками системи , відносно якої точка, в якій відбуваються ці події рухається зі швидкістю . З урахуванням вищесказаного формулу (45.2) можна подати у вигляді

. (45.3)

З отриманої формули випливає, що власний час менше часу, відліченого за годинниками, які рухаються відносно точки, де ці події відбуваються.

З погляду спостерігача, який знаходиться у системі є проміжок часу між подіями, який вимірюється нерухомими годинниками, а – проміжок часу, який вимірюється годинником, що рухається зі швидкістю . Оскільки (див.(45.3)), то можна сказати, що годинники, які рухаються, ідуть повільніше, ніж нерухомі годинники.