§37 Витікання рідини з малого отвору. Формула Торрічеллі [4]

Рисунок 37.1

1. Знайдемо швидкість витікання ідеальної рідини, яка нестискується, з невеликого отвору в широкій відкритій судині (рис. 37.1). Для цього використаємо рівняння Бернуллі.

Виділимо подумки в рідині трубку течії, перетинами якого є відкрита поверхня рідини й перетин потоку на виході з отвору (див. рис. 37.1). Покажемо штриховими лініями усередині судини стінки трубки течії рідини. Для всіх точок кожного із цих перетинів швидкість рідини й висоту над деяким вихідним рівнем можна вважати однаковими. Тому до перетинів та можна застосувати рівняння Бернуллі

. (37.1)

Зазначимо, що тиски й в обох перетинах однакові й дорівнюють атмосферному. Швидкості та у цих перетинах пов’язані між собою теоремою про нерозривність струменю

.

Звідси

через те, що за умовою . Тому доданком в (37.1) порівняно з можна знехтувати. Тоді рівняння (37.1) спрощується

.

Звідси знаходимо шукану швидкість витікання рідини з отвору

, (37.2)

де – висота відкритої поверхні над отвором. Формула (37.2) називається формулою Торрічеллі. З неї випливає, що швидкість витікання рідини з отвору, який знаходиться на глибині під відкритою поверхнею рідини, збігається зі швидкістю, що отримує будь-яке тіло, коли падає з висоти (у випадку, якщо опором повітря можна знехтувати). Цей результат отриманий у припущенні, що рідина є ідеальною. Для реальних рідин швидкість витікання буде меншою.

§38 Сила внутрішнього тертя. Формула Ньютона для сили внутрішнього тертя. В’язкість. Ламінарна і турбулентна течія рідини. Число Рейнольдса [1]

1. Ідеальна рідина, тобто рідина без внутрішнього тертя, є абстракцією. Всі реальні рідини і гази у більшій або меншій мірі мають властивість в’язкості або внутрішнього тертя. В'язкість проявляється, зокрема, у тому, що рух, який виникає в рідині або в газі, після припинення дії причин, які його викликали, поступово припиняється. Прикладом може служити рух рідини в склянці після того, як її перестають розмішувати ложечкою.

Для з'ясування закономірностей, яким підкоряються сили внутрішнього тертя, розглянемо такий дослід. У рідину занурені дві паралельні одна одній пластини (рис. 38.1), лінійні розміри яких значно перевищують відстань між ними d. Нижня пластина втримується на місці, верхня приводиться в рух відносно нижньої з деякою швидкістю . Дослід показує, що для переміщення верхньої пластини з постійною швидкістю необхідно діяти на неї із цілком певною постійною за величиною силою . Раз пластина не отримує прискорення, виходить, що дія цієї сили врівноважується рівною їй за величиною та протилежно направленою силою, яка і є силою тертя, що діє на пластину при її русі в рідині. Позначимо її . Варіюючи швидкість пластини , площу пластин і відстань між ними , можна отримати:

, (38.1)

де – коефіцієнт пропорційності, який залежить від природи й стану (наприклад, температури) рідини й називається коефіцієнтом внутрішнього тертя або коефіцієнтом в'язкості, або просто в'язкістю рідини (газу).

На нижню пластину при русі верхньої також виявляється діє сила , яка однакова за величиною . Для того щоб нижня пластина залишалася нерухомою, силу необхідно врівноважити за допомогою сили .

Рисунок 38.1

Таким чином, при русі двох занурених у рідину пластин одна відносно одної між ними виникає взаємодія, яка характеризується силою (38.1). Вплив пластин одна на одну здійснюється через рідину, яка міститься між пластинами, передається від одного шару рідини до іншого. Якщо в будь-якому місці між пластинами провести уявно площину, яка паралельна пластинам (див. пунктирну лінію на рис. 38.1), то можна стверджувати, що частина рідини, яка лежить над цією площиною, діє на частину рідини, що лежить під площиною, із силою , а частина рідини, що лежить під площиною, у свою чергу діє на частину рідини, що лежить над площиною, із силою , причому величини і визначаються формулою (38.1). Таким чином, формула (38.1) визначає не тільки силу тертя, що діє на пластини, але й силу тертя між дотичними частинами рідини.

Якщо досліджувати швидкість частинок рідини в різних шарах, то виявляється, що вона змінюється в напрямку , який перпендикулярний до пластин (рис. 38.1), за лінійним законом

. (38.2)

Частинки рідини, яка безпосередньо дотикаються до пластинки, як би прилипають до них, мають таку ж швидкість, як і самі пластини. Формулу (38.2) можемо перетворити

. (38.3)

Використавши рівність (38.3), формулі (38.1) для сили внутрішнього тертя можна надати вигляд

. (38.4)

Формулу (38.4) отримав Ньютон і тому її називають формулою Ньютона для сили внутрішнього тертя. Величина показує, як швидко змінюється швидкість у напрямку осі , і називається градієнтом швидкості (точніше, це – модуль градієнта швидкості; сам градієнт є вектором).

Формула (38.4) була нами отримана для випадку, коли швидкість змінюється за лінійним законом (у цьому випадку градієнт швидкості є постійним). Виявляється, що ця формула залишається справедливою й для будь-якого іншого закону зміни швидкості при переході від одного шару рідини до іншого. У цьому разі для визначення сили тертя між двома сусідніми шарами рідини потрібно брати значення градієнта у тому місці, де проходить уявна поверхня розділу шарів.

Усе, що було сказане в цьому параграфі відноситься не тільки до рідин, але й до газів.

Одиницею в'язкості в СІ є така в'язкість, при якій градієнт швидкості, що дорівнює 1 м/с на 1 м, приводить до виникнення сили внутрішнього тертя в 1 Н на 1 м² поверхні дотику шарів рідини. Ця одиниця позначається Н·с/м².

Коефіцієнт в'язкості залежить від температури, причому характер цієї залежності істотно різний для рідин і газів. У рідин коефіцієнт в'язкості сильно зменшується з підвищенням температури. У газів, навпаки, коефіцієнт в'язкості з температурою росте. Відмінність у характері поведінки при змінах температури вказує на різні механізми внутрішнього тертя в рідинах і газах.

2. Спостерігається два види течії рідини (або газу). В одних випадках рідина як би розділяється на шари, які ковзають один відносно одного, не перемішуючись. Така течія називається ламінарною. Якщо в ламінарний потік увести підфарбований струмок, то він буде зберігатися, не розмиваючись, на всій довжині потоку, тому що частинки рідини в ламінарному потоці не переходять із одного шару в іншій. Ламінарна течія є стаціонарною.

При збільшенні швидкості або поперечних розмірів потоку характер течії істотно змінюється. Виникає енергійне перемішування рідини. Така течія називається турбулентною. При турбулентній течії швидкість частинок у кожному місці увесь час змінюється хаотичним чином – течія є нестаціонарною. Якщо в турбулентний потік увести пофарбований струмок, то вже на невеликій відстані від місця її введення пофарбована рідина рівномірно розподіляється по всьому перетині потоку.

Англійський учений Рейнольдс встановив, що характер течії залежить від значення безрозмірної величини:

, (38.5)

де – густина рідини (або газу); – середня за перерізом швидкість потоку; – в'язкість рідини; – характерний для поперечного перерізу потоку розмір, наприклад, сторона квадрата при квадратному розтині, радіус або діаметр при круглому розтині. Величина , що визначається формулою (38.1), називається числом Рейнольдса.

При малих значеннях течія носить ламінарний характер. Починаючи з деякого значення , яке називають критичним:, течія стає турбулентною. Якщо за характерний розмір труби взяти її радіус (у цьому випадку ), то критичне значення числа Рейнольдса буде дорівнювати приблизно 1000 (якщо за взяти діаметр труби, то критичне значення буде дорівнювати 2000).

Число Рейнольдса служить критерієм подібності для течії рідин у трубах, каналах і т.д. Наприклад, характер течії різних рідин (або газів) у круглих трубах різних діаметрів буде однаковим, якщо кожній течії відповідає однакове значення .

У число Рейнольдса входить відношення густини й в'язкості . Величина

(38.6)

називається кінематичною в'язкістю. Щоб відрізнити в’язкість від , величину називають динамічною в'язкістю. Число Рейнольдса, яке виражено через кінематичну в'язкість, має вигляд

. (38.7)