§36 Рівняння Бернуллі [4]

1. У реальних рідинах при відносному переміщенні шарів рідини відносно один одного виникають сили внутрішнього тертя, які гальмують відносний зсув шарів. Рідина, у якої внутрішнє тертя повністю відсутнє, називається ідеальною. Таким чином рух ідеальної рідини не супроводжується дисипацією енергії.

Розглянемо стаціонарний потік ідеальної рідини, яка нестискується. Виділимо об’єм рідини, який обмежений стінками вузької трубки течії й перпендикулярними до ліній течії перетинами й (рис. 36.1). За час цей об’єм зміститься уздовж трубки течії, причому границя об’єму отримає зміщення а границя – зміщення . Робота, яка виконана при цьому силами тиску, дорівнює збільшенню повної енергії рідини, яка міститься в розглянутому об’ємі.

Сили тиску на стінки трубки течії перпендикулярні в кожній точці до напрямку переміщення рідини, внаслідок чого роботи не виконують. Відмінна від нуля лише робота сил тиску, яка прикладена до перетинів і . Ця робота дорівнює

. (36.1)

Повна енергія розглянутого об’єму рідини складається з кінетичної енергії й потенційної енергії у полі сил земного тяжіння. Внаслідок стаціонарності потоку повна енергія тієї частини рідини, яка обмежена перетинами 1' і 2 (внутрішня незаштрихована частина трубки течії на рис. 36.1), за час не змінюється. Тому збільшення повної енергії дорівнює різниці значень повної енергії заштрихованих об’ємів і , маса яких ( – густина рідини).

Рисунок 36.1 – За час рідина, яка міститься між перетинами 1 і 2, переміщається уздовж трубки течії в положення, обумовлене перетинами 1' і 2'. Через те, що рідина не стискується, добуток площі перетину на його переміщення для обох границь розглянутого об’єму має одне і те саме значення:

Візьмемо перетин трубки течії й переміщення настільки малими, щоб усім точкам кожного із заштрихованих об’ємів можна було приписати однакові значення швидкості , тиску й висоти . Тоді для збільшення повної енергії отримуємо вираз

. (36.2)

Прирівнюємо вирази (36.1) і (36.2), скоротимо на й перенесемо члени з однаковими індексами в одну частину рівності. В результаті цього отримаємо

. (36.3)

Це рівняння стає абсолютно точним лише при прямуванні поперечного перерізу до нуля, тобто при стягуванні трубки течії в лінію. Отже, величини й в обох частинах рівності потрібно розглядати як такі, що відносяться до двох довільних точок однієї й тієї ж лінії течії.

При доведенні формули (36.3) перетини й були взяті довільно. Тому можна стверджувати, що для стаціонарної ідеальної рідини, яка нестискується, уздовж будь-якої лінії течії виконується умова

. (36.4)

Рівняння (36.3) або рівнозначне йому рівняння (36.4) називається рівнянням Бернуллі. Хоча це рівняння було отримано для ідеальної рідини, воно добре виконується і для реальних рідин, у яких внутрішнє тертя невелике.

Для горизонтальної лінії течії рівняння (36.3) має вигляд

.

Звідси випливає, що тиск менший в тих точках, де швидкість більша.