§25 Момент інерції циліндра (диска) відносно осі симетрії [4]

Рисунок 25.1

1. З визначення моменту інерції

(25.1)

випливає, що ця величина є адитивною. Це означає, що момент інерції тіла відносно деякої осі дорівнює сумі моментів інерції частин тіла відносно тієї ж осі. З співвідношення (25.1) випливає також, що момент інерції тіла відносно різних осей буде різним.

Зазначимо, що вираз (25.1) є не цілком однозначним, оскільки кожний з векторів можна проводити в різні точки -й малої маси. Щоб усунути цю невизначеність, потрібно взяти границю виразу цього виразу за умови, що всі прямують до нуля. Тобто суму в (25.1) потрібно замінити інтегруванням:

. (25.2)

Нарешті, якщо ми візьмемо до уваги визначення густини неоднорідного тіла , то отримаємо формулу для моменту інерції твердого тіла

, (25.3)

де – густина тіла в точці, яка входить в об’єм , – відстань цього об’єму до осі обертання, відносно якої обчислюється момент інерції.

2. Обчислення інтеграла (25.3) являє собою достатньо складне завдання. Справа значно спрощується у випадку однорідних осесиметричних тіл. Як приклад, знайдемо момент інерції однорідного циліндра відносно його геометричної осі (рис. 25.1).

Розіб'ємо циліндр на циліндричні шари радіуса , товщини , висоти . Маса такого шару дорівнює ( – об’єм шару). Всі точки цього шару розміщені від осі на однаковій відстані . Тому момент інерції такого циліндричного шару дорівнює

.

Проінтегруємо цей вираз за змінною в межах від до ( – радіус циліндра) і отримаємо момент інерції однорідного циліндра відносно його осі:

, тобто (25.4)

( – маса циліндра). Відзначимо, що отриманий вираз (25.4) не залежить від висоти циліндра . Отже, формула (25.4) визначає й момент інерції тонкого диска відносно перпендикулярної до нього осі, що проходить через його центр.

§26 Момент інерції стержня [4]

1. Обчислимо момент інерції тонкого однорідного стержня маси й довжини відносно перпендикулярної до нього осі , яка проходить через його центр (див. рис. 26.1). Для цього використаємо визначення моменту інерції твердого тіла

. (26.1)

Зазначимо, що стержень можна вважати тонким, якщо максимальний поперечний розмір його набагато менше довжини .

Рисунок 26.1

Проведемо вздовж стержня вісь , початок цієї осі розмістимо в центрі стержня (див. рис. 26.1). Виберемо ділянку стержня . Виходячи з того, що стержень однорідний, маса ділянки буде дорівнювати , де – довжина стержня. Ця маса знаходиться на відстані від осі обертання (див. рис. 26.1). У формулі (26.1) ця відстань позначена буквою , тобто для даного випадку . Далі використовуючи співвідношення (26.1), отримуємо момент інерції стержня відносно перпендикулярної до нього осі, яка проходить через його центр

, тобто . (26.2)

2. Наведемо без доведення значення моменту інерції однорідної кулі відносно осі, що проходить через його центр:

, (26.3)

де – маса, а є її радіусом.

§27 Теорема Гюйгенса-Штейнера [7]

1. Знайдемо зв'язок між моментами інерції тіла відносно двох різних паралельних осей. Вважаємо, що ці осі перпендикулярні до площини рисунка й перетинають цю площину в точках й (див. рис. 27.1). Будемо називати ці вісі осями й . Розіб'ємо уявно тіло на елементарні маси . Позначимо радіус-вектор, який проведено в площині рисунка від точки до елементарної маси через , а від точки до – через . Зрозуміло, що на рис. 27.1 зображено випадок, коли елементарна маса лежить у площині рисунка. Тоді , де . Тому . Далі, використовуючи визначення моменту інерції тіла, знаходимо момент інерції тіла відносно осі :

. (27.1)

Рисунок 27.1

Проаналізуємо доданки, які знаходяться у правій частині співвідношення (27.1). Перший інтеграл праворуч є моментом інерції відносно осі . Останній інтеграл праворуч у відповідності з визначенням центра мас можна подати у вигляді , де – радіус-вектор центра мас тіла відносно осі (більш точно, є компонентою радіуса-вектора центра мас, яка паралельна площині рисунка), є масою тіла. Таким чином,

. (27.2)

Припустимо, що вісь проходить через центр мас тіла (точки й збігаються). Тоді , і попередня формула спрощується, набираючи вигляд

. (27.3)

Це важливе співвідношення називається теоремою Гюйгенса-Штейнера. Момент інерції відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції відносно осі , яка паралельна осі й проходить через центр мас тіла , і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями.