§23 Рух центра мас твердого тіла. Прискорення центра мас твердого тіла [4]

1. Знайдемо центр мас твердого тіла. Для цього розіб’ємо тверде тіло на сукупність дуже малих частинок (елементарних мас), тобто подамо тверде тіло як систему матеріальних точок з незмінними відстанями між ними. Тому для твердого тіла справедливі всі результати, які були отримані для системи матеріальних точок. Зокрема, центр мас твердого тіла визначається радіус‑вектором

, (23.1)

де – -а мала маса; – радіус-вектор, що визначає положення цієї маси; – маса всього твердого тіла.

Вираз (23.1) є не цілком однозначним, оскільки кожний з векторів можна проводити в різні точки -й малої маси. Щоб усунути цю невизначеність, потрібно взяти границю виразу (23.1) за умови, що всі прямують до нуля:

.

Ми знаємо, що така границя називається інтегралом. Таким чином,

, (23.2)

де інтегрування виконується по всьому твердому тілу.

2. Вираз (23.2) залежить від розподілу маси по об'єму тіла. Цей розподіл можна охарактеризувати за допомогою величини, яка називається густиною. Тіло, властивості якого у всіх точках однакові, називається однорідним. Густиною однорідного тіла називають величину

, (23.3)

де – маса тіла, а – його об'єм. Таким чином, густина однорідного тіла чисельно дорівнює масі одиниці об'єму тіла.

Для неоднорідного тіла формула (23.3) дає середню густину. Густина у деякій точці неоднорідного тіла визначається виразом

, (23.4)

де – маса, що знаходиться в об'ємі , який містить у собі точку . Граничний перехід у цьому виразі не можна розуміти так, що об'єм стягується безпосередньо в точку. Зменшення потрібно здійснювати доти, поки не почне проявлятися атомна структура речовини. Тому під в (23.4) потрібно розуміти фізично нескінченно малий об'єм, тобто такий об'єм, що, з одного боку, досить малий для того, щоб макроскопічні (тобто властиві великий сукупності атомів) властивості речовини можна було вважати в його межах однаковими, а з іншого боку, досить великий для того, щоб не могла проявитися дискретність речовини.

Згідно (23.4) елементарна маса дорівнює добутку густині тіла в даній точці на відповідний елементарний об'єм :

. (23.5)

Підставивши це значення у вираз (23.2), отримуємо, що

, (23.6)

де буква під знаком інтеграла вказує на те, що інтегрування виконується по об'єму тіла.

3. Тверде тіло можна подати як систему матеріальних точок. Тому для нього справедливе співвідношення, яке визначає прискорення центра мас системи матеріальних точок, відповідно до якого добуток маси системи (тобто маси тіла) на прискорення центра мас дорівнює сумі зовнішніх сил, що діють на це тіло,

. (23.7)

Таким чином, центр мас твердого тіла рухається так, як рухалася б матеріальна точка з масою, що дорівнює масі тіла, під дією всіх прикладених до тіла зовнішніх сил.

§24 Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі. Рівняння динаміки обертального руху відносно нерухомої осі [4]

1. Знайдемо рівняння, яке описує обертальний рух твердого тіла відносно нерухомої осі . Для розв’язання цієї задачі будемо розглядати тверде тіло як систему матеріальних точок, також використаємо рівняння моментів для системи матеріальних точок відносно осі обертання.

Рисунок 24.1 – Вісь обертання й елементарна маса лежать у площині рисунка. Швидкість направлена за площину рисунка. Момент імпульсу є перпендикулярним до векторів і . Відстань від осі обертання дорівнює

Розіб'ємо тіло (див. рис. 24.1), що обертається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю , на елементарні маси , які можна вважати матеріальними точками. Відповідно до визначення момент імпульсу ‑ї елементарної маси відносно точки , що лежить на осі обертання, дорівнює

. (24.1)

Тут – радіус-вектор, який визначає положення маси відносно точки , – швидкість -ї елементарної маси. Проекція вектора на вісь обертання дорівнює його модулю , помноженому на косинус кута : (див. рис. 24.1). Оскільки кут між векторами й прямий (див. рис. 24.1), то . Тоді

, (24.2)

де – відстань маси від осі обертання (див. рис. 24.1). Як відомо . З урахуванням цього можемо записати

. (24.3)

Проекція повного моменту імпульсу тіла дорівнює сумі проекцій :

. (24.4)

Отриманий вираз не залежить від розміщення на осі обертання точки , відносно якої визначається момент імпульсу тіла .

Величина

, (24.5)

що дорівнює сумі добутків елементарних мас на квадрат їх відстаней до осі обертання, називається моментом інерції тіла відносно цієї осі.

Скориставшись поняттям моменту інерції, подамо вираз (24.4) для моменту імпульсу відносно осі у вигляді

, (24.6)

де – момент інерції твердого тіла відносно осі обертання .

Як відомо, для системи матеріальних точок є справедливим рівняння моментів відносно осі обертання

. (24.7)

Підставивши в це рівняння (24.6) і прийнявши до уваги, що , а – проекція кутового прискорення на вісь (ми припускаємо, що напрямки вектора й осі збігаються), прийдемо до рівняння

. (24.8)

Це рівняння називають рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі. Воно аналогічно рівнянню другого закону Ньютона . Роль маси тут відіграє момент інерції, роль лінійного прискорення – кутове прискорення й, нарешті, роль результуючої сили – сумарний момент зовнішніх сил.