Тема 4 Тверде тіло в механіці §20 Момент сили і момент імпульсу. Рівняння моментів для матеріальної точки [7]

1. Важливі закони механіки пов'язані з поняттями моменту імпульсу та моменту сили. Потрібно розрізняти й не змішувати один з одним моменти цих векторів відносно точки й відносно осі. Момент вектора відносно точки й відносно осі – різні поняття, хоча й пов'язані між собою. Момент вектора відносно точки сам є вектором. Момент того ж вектора відносно осі є проекцією на цю вісь його моменту відносно точки, що лежить на тій же осі. Таким чином, момент вектора відносно осі вже не є вектором.

2. Розглянемо моменти відносно точки. Нехай – будь-яка точка, відносно якої розглядається момент вектора сили або вектора імпульсу (див. рис. 20.1). Цю точку називають полюсом. Позначимо через радіус-вектор, проведений від цієї точки до точки прикладення сили . Моментом сили відносно точки називається векторний добуток радіуса-вектора на силу :

. (20.1)

Для системи матеріальних точок моментом сили системи відносно деякого полюсу  називається сума моментів сил цих точок відносно того ж полюсу.

Аналогічно моментом імпульсу матеріальної точки відносно точки або полюса називається вектор, що дорівнює

, (20.2)

де – імпульс матеріальної точки; – радіус-вектор, що визначає положенням цієї точки.

Для системи матеріальних точок повним моментом імпульсу системи відносно деякого полюсу називається сума моментів імпульсів точок системи відносно того ж полюсу.

3. Доцільність введення моментів імпульсу й сили виправдується тим, що вони пов'язані між собою важливим співвідношенням, яке називається рівнянням моментів. Розглянемо випадок, коли точка є нерухомою. У випадку однієї матеріальної точки, диференціюючи вираз (20.2) за часом, дістанемо . При цьому потрібно прийняти до уваги, що імпульс частинки є паралельним до її швидкості . Тобто . Крім того, . Таким чином, . У результаті отримуємо

. (20.3)

Це рівняння називають рівнянням моментів для однієї матеріальної точки відносно точки обертання .

Рисунок 20.1

4. Момент сили характеризує здатність сили обертати тіло навколо точки. Модуль моменту сили виходячи з (20.1) і визначення векторного добутку дорівнює

, (20.4)

де – кут між вектором і (див. рис. 20.1). Вираз (20.4) можна перетворити

, (20.5)

де – плече сили (див. рис. 20.1). За визначенням плечем сили називають довжину перпендикуляра, який опущено із точки на пряму, вздовж якої діє сила (див. рис. 20.1).

Аналізуючи вираз (20.5), можемо зробити висновок, що здатність сили обертати тіло залежить не тільки від величини сили , але й від плеча сили .

5. Обертання, як правило, відбувається не навколо деякої точки , а навколо осі обертання . Проектуючи вектора рівняння (20.3) на вісь обертання , отримаємо рівняння моментів відносно осі обертання:

, (20.6)

де і є, відповідними проекціями векторів та на вісь обертання .

§21 Рівняння моментів для системи матеріальних точок. Закон збереження моменту імпульсу [1]

1. Узагальнимо рівняння моментів на випадок системи матеріальних точок.

Розглянемо систему, яка складається з частинок (матеріальних точок). Позначимо через силу, що діє на ‑у частинку з боку -ї частинки (перший індекс вказує номер частинки, на яку діє сила, другий індекс – номер частинки, впливом якої обумовлена ця сила). Зрозуміло, є внутрішніми силами. Позначимо через результуючу всіх зовнішніх сил, що діють на -у частинку. Напишемо рівняння моментів для кожної матеріальної точки:

,

………………………………………..,

,

………………………………………..,

.

Тут – момент імпульсу -ї частинки.

Складемо разом ці рівняння. Ліворуч отримаємо похідну за часом від повного моменту імпульсу системи:

. (21.1)

Праворуч відмінною від нуля буде тільки сума зовнішніх моментів сил . Дійсно, суму внутрішніх сил можна подати у вигляді

.

Тут, відповідно до третього закону Ньютона, і направлені ці сили вздовж лінії, що з’єднують точки, до яких ці сили прикладені. Тобто вектори , та є паралельними. Це означає, що . Тобто вираз у кожній з дужок дорівнює нулю.

З урахуванням цього отримуємо, що

. (21.2)

Таким чином, похідна за часом від повного моменту імпульсу системи відносно довільної нерухомої точки дорівнює геометричній сумі моментів зовнішніх сил, що діють на тіла системи відносно цієї ж точки. Це твердження називають рівнянням моментів для системи матеріальних точок.

2. Обертання, як правило, відбувається не навколо деякої точки , а навколо осі обертання . Проектуючи вектора рівняння (21.2) на вісь обертання , отримаємо рівняння моментів для системи матеріальних точок відносно осі обертання:

, (21.3)

де і є відповідними проекціями векторів та на вісь обертання .

3. Коли система замкнена, то зовнішні сили відсутні й права частина рівняння (21.2) дорівнює нулю. Це означає, що

, . (21.4)

Таким чином, ми прийшли до висновку, що повний, сумарний момент імпульсу замкненої системи матеріальних точок залишається постійним. Це твердження становить зміст закону збереження моменту імпульсу.

Зазначимо, що відповідно до формули (21.2), повний момент імпульсу залишається постійним і для незамкненої системи у тому випадку, коли сума всіх моментів зовнішніх сил дорівнює нулю ( =0).

Також повний момент імпульсу залишається постійним і для випадку коли в системі діють центральні сили. Центральними називають такі сили, напрямки яких проходять через нерухомий центр . З визначення центральної сили випливає, що момент центральної сили завжди буде таким, що дорівнює нулю ( ).

Закон збереження моменту імпульсу разом із законами збереження імпульсу й енергії є одним із найважливіших фундаментальних законів фізики.