§18 Повна механічна енергія системи матеріальних точок. Закон збереження повної механічної енергії для системи матеріальних точок. Робота неконсервативних сил [4]

1. Розглянемо перехід системи матеріальних точок із стану 1 в стан 2. Вважаємо, що в системі діють лише консервативні сили. З’ясуємо як при цьому змінюється енергія системи.

За цих умов робота, що виконується усіма консервативними силами, що діють на матеріальні точки системи при переході із положення 1 в положення 2 визначається співвідношенням (18.1)

. (18.1)

З іншого боку, згідно теореми про кінетичну енергію для системи матеріальних точок можемо записати

. (18.2)

Прирівнюємо вирази (18.1) та (18.2) і отримуємо

або

. (18.3)

Сума кінетичної й потенціальної енергій системи називається повною механічною енергією системи матеріальних точок

.

Тоді співвідношення (18.3) можна записати у вигляді

або . (18.4)

Таким чином, у системі, в якій діють лише консервативні (і гіроскопічні) сили повна механічна енергія залишається незмінною. Це твердження називається законом збереження повної механічної енергії для системи матеріальних точок.

2. Розглянемо випадок, коли разом з консервативними діють також і неконсервативні сили. Знайдемо роботу неконсервативних сил. Робота усіх сил при переході системи із положення 1 у положення 2 як і раніше, згідно теореми про кінетичну енергію системи матеріальних точок, дорівнює збільшенню її кінетичної енергії

. (18.5)

Але в розглянутому випадку цю роботу можна подати у вигляді суми роботи консервативних сил і роботи неконсервативних сил

. (18.6)

Роботу ж консервативних сил системи, як відомо, можна виразити через зменшення її потенціальної енергії

. (18.7)

Підставляємо співвідношення (18.5), (18.7) в (18.6) і отримуємо

або

.

Використаємо поняття повної механічної енергії ( ) і отримуємо

. (18.8)

Таким чином, у випадку, коли в системі діють неконсервативні сили, повна механічна енергія системи матеріальних точок не залишається постійною. Робота неконсервативних сил дорівнює зміні повної механічної енергії системи матеріальних точок.

§19 Зіткнення тіл. Швидкості тіл після центрального абсолютно пружного та абсолютно непружного ударів [4]

1. Під час зіткнення тіла деформуються. При цьому кінетична енергія тіл частково або повністю переходить у потенціальну енергію пружної деформації й у внутрішню енергію тіл. Збільшення внутрішньої енергії приводить до нагрівання тіл. Використовуючи закони збереження імпульсу та повної механічної енергії, можна знайти швидкості тіл після зіткнення не використовуючи явний вид сил пружності, за допомогою яких відбувається взаємодія тіл.

Розглянемо два граничних види зіткнення – абсолютно непружний і абсолютно пружний удар. Абсолютно непружним називається удар, при якому потенціальна енергія пружної деформації не виникає; кінетична енергія тіл частково або повністю перетворюється у внутрішню енергію; після удару тіла рухаються з однаковою швидкістю (тобто як одне тіло) або знаходяться у стані спокою. При такому ударі виконується тільки закон збереження імпульсу, закон же збереження механічної енергії не виконується – механічна енергія частково або повністю переходить у внутрішню.

Абсолютно пружним називається такий удар, при якому повна механічна енергія тіл зберігається. Спочатку кінетична енергія частково або повністю переходить у потенціальну енергію пружної деформації. Потім тіла повертаються до початкової форми, відштовхуючись одне від одного. У підсумку потенціальна енергія пружної деформації знову переходить у кінетичну й тіла розлітаються зі швидкостями, обумовленими двома умовами – збереженням повної механічної енергії й повного імпульсу тіл.

Обмежимося розглядом центрального удару двох однорідних куль. Удар називається центральним, якщо кулі до удару рухаються вздовж прямої, що проходить через їх центри. З міркувань симетрії ясно, що після удару кулі будуть рухатися уздовж тієї самої прямої. Будемо вважати, що кулі рухаються поступально (тобто не обертаючись). Будемо також припускати, що кулі утворюють замкнену систему або зовнішні сили, що прикладені до куль, урівноважують одна одну.

2. Розглянемо абсолютно непружний удар. Позначимо маси куль і , швидкості куль до удару й . Ці величини будемо вважати відомими. Знайдемо швидкості куль після удару й .

Відповідно до закону збереження імпульсу сумарний імпульс куль після удару повинен бути таким, як і до удару. Тому

,

де , тобто швидкості куль після абсолютно непружного удару однакові. Тоді

. (19.1)

Формула (19.1) розв’язує поставлену задачу. Для числових розрахунків потрібно спроектувати всі вектори на координатні осі.

3. Розглянемо центральний абсолютно пружний удар двох куль. Позначимо маси куль і , швидкості куль до удару й . Ці величини будемо вважати відомими. Знайдемо швидкості цих куль після удару й .

Запишемо рівняння законів збереження імпульсу й енергії:

,

.

Перетворимо ці рівняння таким чином:

, (19.2)

. (19.3)

Тут ми скористалися тим, що ). Усі вектори, що входять у рівняння (19.2) і (19.3), є колінеарними (удар центральний). Для колінеарних векторів, для яких виконується умова й , випливає, що . Тому можемо записати, що

. (19.4)

Помноживши (19.4) на й віднявши результат з (19.2), а потім помноживши (19.4) на й склавши результат з (19.2), знайдемо швидкості куль після удару:

(19.5)

Зазначимо, що вираз для відрізняється від виразу для тільки перестановкою індексів 1 і 2. Це природно, оскільки кулі в процесі зіткнення абсолютно рівноправні й байдуже, яку з куль вважати першою, а яку другою.

Щоб здійснити розрахунки, потрібно спроектувати всі вектори на вісь , вздовж якої рухаються тіла. В такому випадку формули (19.5) набируть вигляд

. (19.6)

Формули (19.6) розв’язують поставлену задачу.