§14 Центр мас системи матеріальних точок. Швидкість і прискорення центра мас [4]

1. Центром мас системи матеріальних точок називається точка , яка визначається радіус‑вектором

. (14.1)

Тут – маса -ї частинки; – радіус-вектор, що задає положення цієї частинки; – сумарна маса системи.

Спроектувавши на координатні осі, отримаємо декартові координати центра мас:

, , . (14.2)

2. Знайдемо швидкість центра мас. Для цього продиференцюємо за часом

, тобто . (14.3)

У цих виразах – швидкість, a імпульс -ї частинки; – повний імпульс системи.

3. Знайдемо прискорення центра. Для цього продиференцюємо швидкість центра мас за часом

, тобто . (14.4)

Тут ми використали співвідношення (13.3), згідно до якого похідна за часом від повного імпульсу системи дорівнює сумі зовнішніх сил . Таким чином, центр мас рухається так, як рухалася б матеріальна точка з масою, що дорівнює масі системи, під дією результуючої всіх зовнішніх сил, які прикладені до тіл системи.

Для замкненої системи . Це означає, що центр мас замкненої системи рухається прямолінійно й рівномірно або знаходиться у стані спокою.

§15 Робота змінної сили. Теорема про кінетичну енергію для системи матеріальних точок [7]

1. Елементарною роботою сили на переміщенні називається скалярний добуток цієї сили на переміщення :

, (15.1)

де – кут між векторами й (рис. 15.1). Оскільки переміщення вважається нескінченно малим, величина називається елементарною роботою на відміну від роботи на скінченному переміщенні.

У загальному випадку, коли матеріальна точка, рухаючись по криволінійній траєкторії, проходить шлях скінченної довжини, можна уявно розбити цей шлях на нескінченно малі ділянки, на кожній з яких сила може вважатися постійною, і елементарна робота може бути обчислена за формулою (15.1). Якщо скласти всі ці елементарні роботи й перейти до границі, спрямувавши до нуля довжини всіх елементарних переміщень, то отримаємо

. (15.2)

Цей вираз називається криволінійним інтегралом вектора уздовж траєкторії . Цей інтеграл, за визначенням, і є роботою сили при переміщенні уздовж кривої .

Якщо , то елементарна робота цієї сили буде дорівнювати

.

Таким чином, елементарна робота результуючої двох або декількох сил дорівнює сумі елементарних робіт цих сил. Очевидно, це твердження справедливо й для робіт на скінченних переміщеннях:

. (15.3)

Одиницею роботи в системі СІ є джоуль (Дж). Джоуль є робота сили в один ньютон на переміщенні в один метр за умови, що напрямок сили збігається з напрямком переміщення.

Потужністю називають величину

. (15.4)

Потужність, як бачимо, чисельно дорівнює роботі, яку виконує сила за одиницю часу. Її одиницями є й джоуль на секунду, або ват (Вт).

2. Знайдемо зв'язок між роботою сили та зміною кінетичної енергії частинки.

Обчислимо роботу сили (15.2), що діє на матеріальну точку, скориставшись другим законом Ньютона

,

а також тим, що елементарне переміщення пов'язано зі швидкістю руху співвідношенням

.

Тоді формула (15.2) набире вигляду

. (15.5)

Тут вектор означає елементарне збільшення вектора , причому це збільшення може й не збігатися за напрямком з вектором . Якщо ми домовимося розуміти під довжину вектора , то очевидно . Дійсно, праворуч стоїть скалярний добуток вектора на самого себе, який дорівнює квадрату довжини вектора, як це безпосередньо випливає з визначення скалярного добутку. Диференціюючи тепер обидві частини співвідношення , знаходимо . Зрозуміло, що подібне співвідношення виконується будь-якого вектора. Підставляємо отримане співвідношення в (15.5) і отримуємо

, (15.6)

Рисунок 15.1

де – початкова, а – кінцева швидкості точки. Біля літери ми поставили індекси 1, 2, щоб підкреслити, що мова йде про роботу при переміщенні матеріальної точки з початкового положення 1 у кінцеве положення 2 (див. рис. 15.1).

Кінетичною енергією матеріальної точки називають величину

. (15.7)

Інколи кінетичну енергію позначають таким чином , , . Одиницею кінетичної енергії в системі СІ є джоуль (Дж). За допомогою поняття про кінетичну енергію співвідношення (6) можна записати у вигляді

(15.8)

Таким чином, робота сили при переміщенні матеріальної точки дорівнює збільшенню кінетичної енергії цієї точки. Це твердження (співвідношення (15.8)) називають теоремою про кінетичну енергію матеріальної точки.

Формула (15.8) вирішує поставлене у цьому пункті завдання.

3. Проведемо узагальнення теореми про кінетичну енергію для матеріальної точки на випадок системи матеріальних точок.

Отриманий результат неважко узагальнити на випадок довільної системи матеріальних точок. Кінетичною енергією системи називається сума кінетичних енергій матеріальних точок, з яких ця система складається:

. (15.9)

Напишемо співвідношення (15.8) для кожної матеріальної точки системи, а потім всі такі співвідношення складемо. У результаті отримаємо співвідношення аналогічне до формули (15.8), але вже не для однієї матеріальної точки, а для системи матеріальних точок

. (15.10)

Під розуміємо суму робіт всіх сил, як внутрішніх, так і зовнішніх, що діють на матеріальні точки системи при переході системи із стану 1 в стан 2. Таким чином, робота всіх сил, що діють на систему матеріальних точок, дорівнює збільшенню кінетичної енергії цієї системи. Це твердження (співвідношення (9)) називають теоремою про кінетичну енергію для системи матеріальних точок.