ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра философии

МИХАЙЛОВА Екатерина Игоревна

ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ВЕКТОРНОГО

МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Реферат по специальности 05.13.18 - «Математическое

моделирование, численные методы и комплексы программ»

к экзамену кандидатского минимума по дисциплине

«ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ»

Научный руководитель

доктор технических наук,

профессор Э.П. ШУРИНА

НОВОСИБИРСК

2012

Содержание

Аннотация 3

Введение 4

1 Метод конечных элементов 6

1.1 История развития метода конечных элементов 6

2 Векторный метод конечных элементов 11

2.1 История развития векторного метода конечных элементов 11

Заключение 14

Список литературы 15

Аннотация

В работе рассматривается история становления метода конечных элементов (МКЭ), который в настоящее время применяется для решения широкого круга инженерных прикладных задач. В контексте развития МКЭ в целом рассмотрено развитие векторного МКЭ. Выполнен анализ как классических монографий и статей, так и современных работ по МКЭ и векторному МКЭ.

Введение

Во многих прикладных задачах возникает необходимость решать дифференциальные уравнения в частных производных. Ими описываются многие физические процессы и явления, такие как тепло- и массоперенос, распространение акустических и электромагнитных волн, течение жидкостей и.т.д. Для большинства инженерных задач, имеющих сложную геометрию, разномасштабные элементы расчетной области, разрывные или нелинейные физические свойства и т.д., аналитическое решение зачастую найти невозможно. Исследование таких структур производится численными методами. Сегодня для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных широко применяется метод конечных элементов (МКЭ).

В настоящее время существует множество модификаций классического (узлового/скалярного) конечно-элементного метода, в частности смешанный МКЭ [1], многомасштабный МКЭ [2], неконформный МКЭ [3], векторный метод конечных элементов [4].

В данной работе особое внимание уделяется именно векторному МКЭ, как одному из самых перспективных в настоящее время подходов для моделирования электромагнитных полей. Так как тема моей диссертации сформулирована как "Моделирование электромагнитных полей в гетерогенных средах", то именно этому подходу и следует обратить особое внимание.

Следует отметить, что хотя векторный МКЭ и базируется на классическом конечно-элементном подходе, однако, вычислительные технологии, созданные для узлового метода почти неприменимы для векторного аналога. Это дает практически неограниченное поле для исследований. Исследования производятся в следующих основных направления: построение адекватных вариационных формулировок, анализ влияние выбора типа конечного элемента на скорость и точность решения задачи, поиск оптимальных базисных функций для аппроксимации различных типов задач, построение параллельных алгоритмов, конструирование эффективных решателей и процедур предобуславливания, теоретические исследования векторного МКЭ и.т.д.

Так как векторный метод конечных элементов представляет собой вариацию классического метода конечных элементов, то изучать историю его развития следует с истории развития классического подхода.

1 Метод конечных элементов

Метод конечных элементов - это численный метод для решения задач инженерной и математической физики. МКЭ имеет строгое математическое обоснование и достаточно гибок при работе со сложными геометрическими структурами.

Основная идея данного метода состоит в том, что некоторая искомая непрерывная величина (давление, температура, деформация и т.д.) аппроксимируется дискретной моделью. Соответствующая дискретная модель строится на множестве кусочно-непрерывных функций, каждая из которых определена на своей подобласти. Кусочно-непрерывные функции конструируются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемого элемента. В общем случае задача состоит в том, чтобы определить значения искомой величины на множестве внутренних точек области.

С развитием вычислительной техники возможности данного численного подхода значительно расширились, как расширился и круг прикладных задач, решаемых с его помощью. Рассмотрим далее эволюцию метода конечных элементов от численного подхода, применявшегося в основном для решения задач строительной механики, до общего метода численного решения дифференциальных уравнений в частных производных и систем дифференциальных уравнений.