2. Локальная и интегральная теоремы Лапласа
При
большом числе испытаний формула Бернулли
для отыскания вероятности того, что
событие А
наступило k
раз в n
независимых
испытаниях перестаёт быть удобной. Эту
задачу при большом n
удалось решить сначала Муавру в частном
случае
,
а затем обобщить результат Лапласу. В
результате получилась локальная
теорема Муавра-Лапласа.
Теорема.
Если вероятность наступления события
А
в каждом из n
независимых испытаний равна р,
,
а число испытаний велико, то вероятность
того, что событие А
наступит ровно k
раз в n
испытаниях равна
,
(1)
где
,
.
Функция
называется
функцией
Лапласа.
Таблица
функции
для
положительных значений x
приведена
в приложении 1; для отрицательных значений
x
пользуются этой же таблицей (функция
четная,
следовательно,
).
Интегральная
теорема Лапласа.
Вероятность того, что в n
независимых испытаниях, в каждом из
которых вероятность появления события
равна p(0<p<1),
событие наступит не менее
раз и не более
раз, приближённо равна
.
(2)
Здесь
-
функция Лапласа,
.
Таблица
функции Лапласа для положительных
значений
приведена в приложении 2; для значений
х >5
полагают
.
Для отрицательных значений
используют эту же таблицу, учитывая,
что функция Лапласа нечётная [
]
Пример 1. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,85. Найдите вероятность того, что из 500 семян взойдёт: а) 420 семян; б) от 420 до 450 семян.
Решение. Очевидно, что схема Бернулли выполняется.
Так
как
,
то воспользуемся формулой (1) в пункте
а) и (2) – б).
а)
;
.
б)
;
.
Приближёнными
формулами Лапласа на практике пользуются
в случае, если
.
Если же
,
то эти формулы приводят к довольно
большим погрешностям.
3. Формула Пуассона
Пусть
число испытаний n
в схеме Бернулли велико, а вероятность
появления события А
в одном испытании мала, причём мало
также произведение
.
При больших n и малых p справедлива теорема Пуассона.
Теорема Пуассона. Если вероятность p в наступлении события A в каждом из n независимых испытаний постоянна и близка к нулю, число испытаний велико, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, определяется формулой
,
где
.
Таблица значений функции приведена в приложении 3.
Пример. Некоторое устройство выходит из строя, если откажет определённая микросхема. Вероятность его отказа в течение часа работы равна 0,004. Какова вероятность того, что за 1000 часов работы придётся 5 разменять микросхему?
Решение. Очевидно, что схема Бернулли выполняется. Событие – микросхема отказала – произошло 5 раз в 1000 испытаниях. Вероятность p – очень мала, 0,004; число испытаний велико. Значит можно использовать формулу Пуассона.
Замечание. Формулы Лапласа и Пуассона носят название приближенные формулы в схеме Бернулли. В них обязательно должна выполняться схема Бернулли.