2. Классическое определение вероятности

Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Здесь будет дано определение, которое называют классическим.

Рассмотрим полную группу событий . Эти события попарно несовместны, элементарны, равновозможны. Те события , в результате наступления которых наступает и событие А, будем называть благоприятствующими событию А.

Дадим теперь определение вероятности.

Классической вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу возможных исходов в данном испытании, образующих полную группу попарно несовместных, равновозможных, элементарных событий.

Таким образом, вероятность события А определяется формулой: ,

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал её наудачу. Найти вероятность того, что выбрана нужная цифра.

Решение. Проводим испытание – набираем наудачу цифру.

Обозначим через А событие – набрана нужная цифра.

Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы попарно несовместные (одна из цифр набрана обязательно) и равновозможны (цифра набрана наудачу).

Благоприятствующий событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна).

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятных событию, к числу всех элементарных исходов:

.

Пример 2. Два раза подбрасываем монету. Найти вероятность того, что «герб»выпадет хотя бы один раз.

Решение. Всех исходов – 4: «герб»-«герб», «герб»-«решка», «решка»-«герб», «решка»-«решка». Число исходов благоприятных событию А, – 3. Следовательно,

.

Пример 3. В группе П-224 30 учащихся: 25 мальчиков и 5 девочек. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность того, что это девочки?

Решение. Испытание – вызывают двух учащихся из 30. Событие А – вызвали двух девочек из 5. Нам нужно выбрать двух учащихся из 30. Тогда число всех элементарных исходов испытания равно , а количество благоприятных исходов равно . Тогда

.

3. Свойства теории вероятностей

1. .

2. 1. Вероятность достоверного события равна единице.

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключённое между нулем и единицей, т.е. 0< <1.

3. Если , то .

Тема. Вероятность сложных событий

1. Теорема о вероятности суммы

Пусть в некотором испытании возможно наступление событий и .

Теорема. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения событий,

.

Пример 1. Отдел технического контроля проверяет на стандартность по двум параметрам серию изделий. Установлено, что у 8 из 25 не выделен только первый параметр, у 6 – только второй, у 3 – оба параметра. Наудачу берётся одно из изделий. Какова вероятность того, что оно не удовлетворяет стандарту?

Решение. Испытание – берут одно изделие из 25. Событие А – взяли одно изделий, не удовлетворяющее стандарту: взяли изделие, не удовлетворяющее первому параметру, взяли изделие, не удовлетворяющее второму параметру.

Событие А есть сумма событий и : .

Тогда

.

По классическому определению: .

Тогда вероятность того, что событие А произойдёт, будет равна

.

Следствие 1. Если события и несовместимые, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие 2. Если образуют полную группу попарно несовместимых событий, то сумма вероятностей этих событий равна единице, т.е.

.

Следствие 3. .

Следствие 4.

.

Пример 2. Среди одинаковых по внешнему виду 11 изделий находятся 3 бракованных. Произвольно вынимают 3 изделия. Найти вероятность того, что среди них хотя бы одно бракованное изделие.

Решение. Испытание – вынимают 3 изделия из 11. Событие А – вынули хотя бы одно бракованное изделие: все 3 изделия бракованные; 2 бракованных и 1 небракованное; одно бракованное и 2 небракованных.

Событие А есть сумма событий , , : .

Рассмотрим противоположное событие нет ни одного бракованного изделия из выбранных трёх.

Тогда по следствию 3:

.

Тогда, используя классическое определение и элементы комбинаторики, получаем:

.