2. Размещения, перестановки и сочетания с повторениями

Рассмотрим конечное множество А объёмом n. Будем составлять соединения объёма k из элементов множества А. Элементы множества А, как объекты, могут повторяться.

Определение 1. Размещениями c повторениями из n элементов множества А по k элементов этого множества называются упорядоченные выборки с повторениями, составленные из элементов множества А, имеющие один и тот же объём k.

В размещениях с повторениями важен порядок расположения элементов, состав соединений изменить можно, элементы в соединениях не повторяются.

- размещение из n по k с повторениями:

Определение 2. Перестановками с повторениями из k элементов множества А по k элементов этого множества называются упорядоченные выборки с повторениями, составленные из элементов множества А, имеющие один и тот же объём k.

Число перестановок с повторениями: .

В перестановках с повторениями важен порядок расположения элементов, состав выборки изменить нельзя, элементы повторяются.

Определение 3. Сочетаниями с повторениями из n элементов множества А по k элементов этого множества называются неупорядоченные выборки с повторениями, составленные из элементов множества А, имеющие один и тот же объём k.

В сочетаниях с повторениями не важен порядок расположения элементов, состав соединения изменить можно, элементы выборки повторяются.

- сочетание из n по k с повторениями: .

Алгоритм решения задач приведен выше.

Пример 1. В оранжерее цветы 5 наименований. Сколькими способами можно составить букет из 15 цветков?

Решение.

1. Множество , , где - одно из наименований цветов и .

2. Объём множества: .

3. Объём выборки: .

4. Составим несколько выборок:

Видим, что состав изменить можно, изменение порядка не приведёт к новому соединению, т.е. порядок расположения элементов не важен, элементы могут повторяться. Следовательно, число всех соединений совпадает с числом сочетаний с повторениями.

5. .

Пример 2. Сколькими способами можно разложить 12 различных деталей по трём ящикам?

Решение.

1. , , где - ящики и .

2. Объём множества: .

3. Объём выборки: .

4. Составим несколько выборок:

Видим, что состав изменить можно, изменение порядка приведёт к новому соединению, т.е. порядок расположения элементов важен, элементы могут повторяться. Следовательно, число всех соединений совпадает с числом размещений с повторениями.

5. .

Пример 3. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 ладьи, 2 слона, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски?

Решение.

1. , .

2. Объём множества: .

3. Объём выборки: : .

4. Составим несколько выборок:

Видим, что состав изменить нельзя, изменение порядка приведёт к новому соединению, т.е. порядок расположения элементов важен, элементы могут повторяться. Следовательно, число всех соединений совпадает с числом перестановок с повторениями.

5. .

Тема. Случайные события. Классическое определение