5. Формула Байеса

При выводе формулы полной вероятности предполагалось, что событие А может произойти с каждой из гипотез , которые образуют полную группу попарно несовместимых событий, при этом вероятности гипотез были известны заранее. Пусть проведён опыт, в котором наступило событие . Выясним, как при этом условии изменяется вероятность гипотез. То есть найдём .

Рассмотрим . По теореме о вероятности . Выразим

- формула Байеса.

Она позволяет пересмотреть вероятности гипотез, при условии, что событие произошло.

Пример. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение. Обозначим через событие – деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотеза): деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй) ; деталь произведена вторым автоматом, причем .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Байеса равна

.

Тема. Схема Бернулли

1. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число

Будем осуществлять повторение одного и того же испытания большое число раз.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний (т.е. вероятность в каждом испытании остаётся постоянной), то такие испытания называют независимыми относительно события .

Будем рассматривать независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна

(*)

или

(**)

где .

Формулы (*), (**) используются, если выполняются все условия схемы Бернулли: проводиться серия из испытаний; в каждом испытании выделяются два исхода: событие и событие ; вероятность события : ,вероятность события : .

Пример. Прибор имеет 6 ламп. Вероятность выхода из строя каждой лампы при данном повышении напряжения в цепи равна 0,3. При перегорании трёх или меньшего числа ламп прибор из строя не выходит. При перегорании четырёх ламп вероятность выхода прибора из строя равна 0,3, при перегорании пяти ламп – 0,7; при шести – 1. Определить вероятность выхода прибора из строя при повышении напряжения цепи.

Решение. Проводят испытание – повышают напряжение цепи. Событие лампа перегорела. Рассмотрим гипотезы:

перегорело 0 ламп из 6 (событие в шести испытаниях не наступило);

перегорела 1 лампа из 6 (событие наступило 1 раз);

перегорели 2 лампы из 6 (событие наступило 2 раза);

перегорели 3 из 6 (событие наступило 3 раза);

перегорели 4 из 6 (событие наступило 4 раза);

перегорели 5 из 6 (событие наступило 5 раз);

перегорели 6 из 6 (событие наступило 6 раз).

Испытывают работу шести ламп.

1. Проводят 6 испытаний (конечное число): .

2. В каждом испытании 2 исхода: лампа перегорела и лампа не перегорела.

3. в каждом испытании.

Итак, схема Бернулли выполняется, следовательно, для вычисления вероятностей гипотез используем формулу Бернулли:

.

Следовательно, образуют полную группу попарно несовместимых событий.

Тогда вероятность того, что прибор вышел из строя (т.е. лампа перегорела) равна