3) На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,005. Найти вероятность того, что среди 200 соединений имеет место:

а) точно 1 неправильное соединение;

б) меньше чем 3 неправильных соединений;

в) больше чем 2 неправильных соединений;

Решение.

в) 1. Испытание – проверяют на правильность соединения телефонных звонков.

Событие – возникло больше чем 2 неправильных соединений.

2. Дано: n=200, k>2, .

Найти: .

3. Проверим выполнимость условий схемы Бернулли:

1. проводится конечное число испытаний: n=200.

2. в каждом испытании 2 исхода: А – неправильное соединение,

правильное соединение.

3. в каждом испытании Р(А)=р=0,005, Р( )=q=0,995.

Схема Бернулли выполняется.

4. В данном случае применима формула Пуассона (количество испытаний велико, вероятность р мала).

Эту задачу можно решить проще, найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых.

Т.е. рассмотрим случай, когда 0 или 1 или 2 неправильных соединений.

. Используя таблицу 3 в приложении, получим:

Итак, вероятность того, что возникнет больше чем 2 неправильных соединения равна 0,0803.

Ответ: 0,0803.

4. Случайная величина распределена равномерно на отрезке .

Найдите: 1) функцию распределения НСВ;

2) плотность вероятности распределения;

3) числовые характеристики;

4) вероятность попадания НСВ Х в интервал .

Решение.

1) Функция распределения:

2) Плотность вероятности:

3) Числовые характеристики.

Математическое ожидание: .

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение: .

4) Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу : .

5. Случайная величина распределена нормально с параметрами .

Найдите: 1) функцию распределения этой НСВ;

2) плотность вероятности распределения;

3) числовые характеристики;

4) вероятность попадания НСВ Х в интервал .

Решение.

1) Функция распределения: .

.

_{2) Плотность вероятности: .}

.

3) Числовые характеристики.

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

Среднее квадратическое отклонение: .

4) Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу :

6. Случайная величина Х распределена по показательному закону с параметром .

Найдите: 1) функцию распределения НСВ;

2) плотность вероятности распределения;

3) числовые характеристики;

4) вероятность попадания НСВ Х в интервал .

Решение.

1) Функция распределения:

_{2) Плотность вероятности:}

3) Числовые характеристики.

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

Среднее квадратическое отклонение: .

4) Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу :

7. Для случайно отобранных семи выпускников колледжа стаж работы по специальности оказался равным: 10, 3, 5, 11, 11, 7, 3.

Определите: 1) постройте вариационный ряд;

2) графическое изображение (полигон);

3) средний стаж и разброс (среднеквадратическое отклонение);

4) доверительный интервал с доверительной вероятностью для среднего значения (математического ожидания);

5) доверительный интервал для вероятности того, что 2 выпусника проработали по специальности 3 года.

Решение.

1. Построим вариационный ряд, используя формулу .

	3	5	7	10	11

2.

3. Статистическое среднее арифметическое (средний стаж):

.

При малом объёме выборки ( ) пользуются исправленной выборочной дисперсией :

Статистическое среднее квадратическое отклонение (разбор): .

4. Доверительный интервал для математического ожидания:

.

Значение решение уравнения : .

По таблице 4 приложения . Тогда

МУ по выполнению ПЗ

Практическое занятие №1:

«ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОБЫТИЙ ПО КЛАССИЧЕСКОМУ ОПРЕДЕЛЕНИЮ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ КОМБИНАТОРИКИ»

Учебная цель: формировать умение вычислять вероятности событий по классическому определению.

Учебные задачи:

1. научиться определять число благоприятствующих исходов;

2. научиться определять число всевозможных исходов;

3. научиться вычислять вероятность события.

Образовательные результаты, заявленные во ФГОС третьего поколения

Студент должен

уметь:

- применять стандартные методы и модели к решению вероятностных задач;

знать:

- основные понятия комбинаторики;

- основы теории вероятностей.

Задачи практического занятия №1

1. Повторить теоретический материал по теме практического занятия.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Изучить методические рекомендации по выполнению заданий практического занятия.

4. Выполнить задания на нахождение вероятностей событий.

5. Оформить отчет.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Справочная литература:

- Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика / М.С. Спирина. – М.: Академия, 2007. – 352 с.

2. Рабочая тетрадь: тетрадь для практических занятий в клетку.

3. Калькулятор: простой.

4. Ручка.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы

по теме практического занятия

Испытание – реализация некоторой совокупности одних и тех же условий.

Событие – результат испытания (исход испытания).

Достоверным называют событие, которое в результате испытания непременно должно произойти.

Невозможным называют событие, которое заведомо не может произойти.

Случайным называют событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Событие , состоящее в ненаступлении события в данном испытании, называется событием, противоположным событию .

Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий в данном испытании.

Произведением конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении каждого из событий в данном испытании.

События называются несовместными в данном испытании, если наступление одного из них исключает наступление других.

События называются совместными, если в данных условиях появление одного из данных событий не исключает появление других в данном испытании.

События называются независимыми, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.

Классическое определение вероятностей. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов: .

Свойства вероятностей:

1. .

2. Вероятность достоверного события равна 1.

3. Вероятность невозможного события равна 0.

Теоремы вероятностей:

1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: .

2. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: .

3. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: