1.3. Обратная матрица

Пусть дана квадратная матрица А порядка n.

Обратной матрицей по отношению к данной А называется матрица , которая будучи умноженной, как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу.

По определению

А · = · А = Е.

Квадратная матрица называется неособенной или невырожденной, если определитель ее отличен от нуля. В противном случае матрица называется особенной или вырожденной.

Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу, которую можно найти по формуле

,

где - определитель матрицы А, - союзная матрица по отношению к данной матрице, в которой элементы каждой строки данной матрицы заменены алгебраическими дополнениями элементов соответствующих столбцов. Например, для квадратной матрицы 2-го порядка союзной является матрица

,

для квадратной матрицы 3-го порядка союзной является матрица

.

Пример

Для матрицы найти обратную.

Решение

Обратную матрицу находим по формуле

.

Определитель матрицы , следовательно, матрица неособенная и обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы:

.

Тогда обратная матрица имеет вид

.

1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слаУр)

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

. (1)

Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то такая система называется неоднородной. Если же , то такая система называется однородной.

Решением системы (1) называется упорядоченная совокупность чисел , которая при подстановке в систему обращает все уравнения системы в верные равенства.

Если система имеет решение, то она называется совместной, если не имеет решения – то несовместной. Если система имеет единственное решение, то она называется определенной, если более одного решения, то – неопределенной.

Матричный метод решения слаУр

Запишем систему линейных уравнений в матричной форме. Введем обозначения:

, , .

А – матрица коэффициентов системы,

Х – вектор-столбец неизвестных,

В – вектор-столбец свободных членов.

Тогда систему (1) можно кратко записать в матричной форме

.

Умножим обе части равенства слева на матрицу получим

, но

следовательно,

.

Последняя формула дает решение системы (1) в матричной форме.

Пример 1

Решить систему матричным методом.

Решение

Матрица этой системы

,

обратная матрица имеет вид

Применяя формулу , получим

Следовательно, , , .

Формулы Крамера для решения слаУр

Если определитель системы , то эта система имеет единственное решение, которое можно получить по формулам Крамера. Формулы Крамера имеют вид

,

где

.

В знаменателях этих формул стоит определитель системы , а в числителях – определители, которые получаются из определителя системы заменой коэффициентов при соответствующих неизвестных столбцом свободных членов.

Пример 2