Рекомендуемая литература
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие – М.: Высшая школа, 2003.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учебное пособие – М.: Высшее образование, 2006.
Высшая математика для экономистов : учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. – М. : ЮНИТИ, 2006.
Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. Пособие : в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Оникс 21 век, 2005.
Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс – М.: Айрис-пресс, 2009.
Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс – М.: Айрис-пресс, 2009.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1, 2. – М.: Наука, 1988.
Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : в 2 ч. Ч. 1 / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2003.
Письменный, Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2006.
Практикум по высшей математике для экономистов : учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. – М. : ЮНИТИ, 2004.
Контрольная работа № 1. Элементы линейной алгебры.
Найти значение матричного многочлена
,
если
,
,
.Вычислить определитель двумя способами, по правилу треугольника и разложением по строке (или столбцу):
.Найти матрицу обратную к матрице
и проверить выполнение равенства
.Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Гаусса:
.
Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач
1.1. Матрицы и действия над ними
Прямоугольная таблица чисел вида
называется матрицей размера m n; здесь m – число строк, n – число столбцов.
Числа
(i
= 1,2,…,m;
j
= 1,2,…,n)
составляющие матрицу, называются ее
элементами.
Первый индекс i
означает номер строки, второй j
– номер столбца.
Если число строк
и столбцов матрицы одинаковое
,
то матрица называется квадратной,
порядка n.
Квадратная матрица, в которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной, а диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны единице, называется единичной:
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Например:
.
Матрица, все
элементы которой равны нулю, называется
нулевой и обозначается символом О,
например
.
Прямоугольная
матрица, в которой каждая строка заменена
столбцом с тем же номером, называется
транспонированной
по отношению к данной матрице, обозначается
.
Например, если
,
то
.
Очевидно, что
.
Действия над матрицами
Две матрицы одинакового размера называются равными, если их соответствующие элементы равны.
А = В,
если
=
(i
= 1,2,…,m;
j
= 1,2,…,n).
Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица того же размера, все элементы которой равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц.
А + В = С,
если
+
=
(i
= 1,2,…,m;
j
= 1,2,…,n).
Пример 1
.
Произведением матрицы А на число α называется матрица αА или Аα, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на α.
Пример 2
Матрица
называется противоположной
матрице А.
Умножение матриц.
Пусть дана матрица А размера m n и матрица В размера n p.
Для двух матриц А и В, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, определено понятие произведения матрицы А на В следующим образом:
С = А · В , где С есть матрица размера m p,
,
если
,
где (i
= 1,2,…,m;
j
= 1,2,…,p).
Из определения вытекает следующее правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий в i-той строке и j-том столбце произведения двух матриц, нужно элементы i-той строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j–го столбца второй и полученные произведения сложить.
Таким образом, чтобы составить первую строку матрицы С нужно перемножить первую строку матрицы А поочередно на все столбцы В; чтобы получить вторую строку произведения С, нужно вторую строку А перемножить последовательно на все столбцы В и т.д.
Пример 3
Произведение двух матриц НЕ подчиняется переместительному (коммутативному) закону
,
в чем можно убедиться на примерах. Кроме того, если произведение АВ определено, то ВА может не иметь смысла.
В частных случаях,
когда
матрицы
называются перестановочными.
Легко доказать, что единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка, причем
А Е = Е А = А.
Таким образом, единичная матрица играет роль единицы при умножении.
Пример 4
Найти значение
матричного многочлена
,
если
,
,
.
Решение
.