Вопрос №29 Конечный предел функции в точке и при X→∞

Конечный предел в точке х₀:

Число А называется пределом функции y = f(x) при x→х­_0­, если для любого Е > 0 существует б > 0 такое, что при х ≠x₀, удовлетворяющее неравенству |х – х₀| < б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Предел обозначается: = A

Конечный предел в точке +∞:

Число А называется пределом функции y = f(x) при x→ ₊ ∞, если для любого Е > 0 существует С > 0, такое что при x > C выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Предел обозначается: = A

Конечный предел в точке -∞:

Число А называется пределом функции y = f(x) при x→-∞, если для любого Е < 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Предел обозначается: = A

Вопрос №30

Понятие окрестности. Общее определение конечного предела.

Понятие окрестности:

При б > 0 (х₀) = (х₀ – б; х₀ + б) называется дельта-окрестность (б – окрестность)

(-∞; С) – окрестность в точке -∞

(С; +∞) – окрестность в точке +∞

Общее определение конечного предела:

Число А называется пределом функции y = f(x) при x→x₀, если для любого Е > 0 существует б > 0 такое, что х принадл. тогда f(x) принадл. (А)

Вопрос №31

Односторонний предел. Теорема о связи односторонних и двусторонних пределов.

Односторонний предел:

1. Если x→х₀ и при х < х₀ то говорят, что х → х₀^-

Если x→х₀ и при х >х₀ то говорят, что х → х₀⁺

х→х₀^-  х→х₀ - 0 – бесконечно малая величина.

х→х₀⁺  х→х₀ + 0 – бесконечно большая величина.

2. Если функция y = f(x) определена высотой дельта-окрестности в точке х₀ и х→х₀^-_, то = f(x^-) – предел функции в точке х₀ слева.

3. Если функция y = f(x) определена высотой дельта-окрестности в точке х₀ и х→х₀⁺_, то = f(x₀⁺)

Теорема о связи односторонних с двусторонних пределов:

Двусторонний предел существует тогда и только тогда, когда 2 односторонних предела равны между собой.

= А  = = А

Вопрос №32 Бесконечно малая и бесконечно большая величины. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших величин.

Бесконечно малая и бесконечно большая величины:

Функция f(x) называют бесконечно малой величиной в точке х₀ принадл. R U ±∞, если

= 0

Функция f(x) называется бесконечно большой величиной в точке х₀ принадл. R U ±∞, если = ∞

Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших величин:

1. Пусть f(x) является бмв в точке х₀, тогда является ббв в этой точке

2. Пусть f(x) является ббв в точке х₀, тогда является бмв в этой точке

Вопрос №33 Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин.

Свойства бмв:

1. Сумма конечного числа бмв есть величина бм

2. Произведение бмв на ограниченную функцию (в том числе на постоянную, на др. бм) есть величина бм.

3. Частное от деления бмв на функцию, предел которой ≠ 0, есть величина бм.

Свойства ббв:

1. Сумма ббв и ограниченной функции есть величина бб.

2. Произведение ббв на функцию, у которой предел ≠ 0 , есть величина бб

3. Частное от деления ббв на функцию, имеющую предел, есть величина бб.