Вопрос №22 Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Условие параллельности прямых. Условие перпендикулярности прямых.

l₁ l₂ l₁ : A₁x + B₁y + C₁ = 0 l₂ : A₂x + B₂y + C₂ = 0

S₂ S₁ Вектора S₁ и S₂ называются направляющими для своих прямых.

Угол между прямыми l₁ и l₂ определяется углом между направляющими векторами. Теорема 1: cos угла между l₁ и l₂ = cos(l₁ ; l₂) =

Теорема 2: Для того, чтобы 2 прямые были равны необходимо и достаточно:

l₁ = l₂ 

Теорема 3: чтобы 2 прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно:

l ₁ l₂  A₁A₂ + B₁B₂ = 0

Вопрос №23 Плоскость. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.

Под нормальным вектором плоскости называют любой вектор, перпендикулярный этой плоскости.

Теорема: Пусть в пространстве задана точка М₀ с координатами (х₀, у₀, z₀) и вектор N (A, B, C), тогда уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ перпендик.N имеет след. вид:

А(х-х₀) + В(у-у₀) + С(z-z₀) = 0

Д

M₀ (x₀, y₀, z₀)

M (x, y, z)

N (A, B, C)

M₀M = (x-x₀; y-y₀; z-z₀)

N M₀M => N – M₀M = 0

А(х-х₀) + В(у-у₀) + С(z-z₀) = 0 (1)

Уравнение (1) называется уравнением по точке и нормальному вектору; х₀, у₀, z₀ - координаты точки; A,B,C –координаты нормального вектора, x, y, z – координаты произвольной точки плоскости.

ок-во:

α

Вопрос №24 Общее уравнение плоскости и его частные случаи. Уравнение плоскости в отрезках.

Общее уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Частные случаи:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – плоскость проходит через начало координат

2. С=0 Ax+By+D = 0 – плоскость || OZ

3. В=0 Ax+Cz+d = 0 – плоскость || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – плоскость || OX

5. A=0 и D=0 By+Cz = 0 – плоскость проходит через OX

6. В=0 и D=0 Ax+Cz = 0 – плоскость проходит через OY

7. C=0 и D=0 Ax+By = 0 – плоскость проходит через OZ

Уравнение плоскости в отрезках:

Теорема: любую плоскость, не проходящую через начало координат и не || координатным осям и не проходящую через них (А не=0, В не=0, С не=0 и D не=0), может быть записана в след.виде:

Уравнение называется уравнением плоскости в отрезках, a,b,c – отрезки, отсекаемые соответственно на координатных осях OX, OY и OZ.

Вопрос №25 Проекция вектора на ось. Расстояние от точки до плоскости в пространстве.

Теорема: проекция вектора на числовую ось вычисляется как произведение длины этого вектора на cps угла между векторами и положительными направлениями числовой оси.

Пр_xа = |а|cosФ

Док-во: 1. Угол Ф – острый:

cosФ =

Пр_ха = |a| cosФ

2. Угол Ф – тупой:

сos(π-Ф) =

|а|(сosФ) = Пр_ха

Пр_ха = |а| *cosФ

Разность от точки до плоскости в пространстве:

Плоскость задана общим уравнением:

Ax + By + Cz + D = 0

П роходит через точку М₀ (х₀, у₀, z₀) N(A,B,C)

Теорема: расстояние от точки до угла вычисляется по след. формуле:

d =