Вопрос №34 Теоремы о пределах.

1. Предел конечной суммы функций = сумме пределов этих функций:

= A + B

2. Предел произведения конечного числа функций = произведению пределов этих функций:

= A * B

3. Частное от деления двух функций в пределах = отношению пределов этих функций (при условии что знаменатель не является бмв)

= A / B (В≠0)!!

4. Теорема о связи предела и бмв: Для того, чтобы число А являлось пределом функции f(x) в точке х₀ необходимо и достаточно чтобы значение функции в этой точке = А + бмв

f(x₀) = A + α [α] = [α(x)] - бмв

Вопрос №35 Первый замечательный предел (теорема с доказательством)

Пусть х измеряется в радианах, тогда = 1

Док-во: Для выполнения доказательства проверим функцию под знаком lim на четность.

(четная)

Т.к. функция является четной, то доказательство выполняется в I четверти, с использованием окружности единичного радиуса.

π/2

Sin x === =

Tg x ===

S_{Δ AOC} < S _{сек AOC} < S_ΔAOD

S_{Δ AOC =} * OA = sin x *1 =

S_{Δ AOD} = *OA =

S _{сек AOC} = =

D

C

X

0 x B A

OA = 1

До множим все три части двойного неравенства на 2:

Sin x < x <

Поделим все 3 части на sin x: и поскольку sin x в I четверти «+», то знаки двойного неравенства сохранятся

1<

1<

Выполним предельный переход в точу 0:

1 <

Т.к. нет такой величины, которая одновременно была бы и больше и меньше 1, то естественно, что первый замечательный lim =1

Ч.т.д.

Вопрос №36

Второй замечательный предел ⁿ .Следствие из второго замечательного предела.

2-ой замечательный предел ⁿ = e

N=1 (1+ )¹ = 2

N=2 (1+ )² = 2, 25

N=3 (1+ )³ = 2, 35

n→∞ e = 2,71826…

Следствие из второго замечательного предела:

^1/y = e

х = y→0 x→∞

ⁿ = e – второй замечательный предел.

Вопрос №37

Непрерывность функции. Класс непрерывных функций. Предел произведения и отношение непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.

1. Функция y = f(x) определенная в окрестности точки х₀, является непрерывной в этой точке, если предел этой функции при х→x₀ = f(x₀)

Понятие одностороннего предела служит для введения понятия односторонней непрерывности:

1. - левосторонняя непрерывность.

2. - правосторонняя непрерывность.

2. Множество функций, непрерывных на интервале от a до b будем обозначать: С (a;b)

• Если функция y = f(x) непрерывна на интервале (a;b), тогда f(x) принадл. С (a;b)

f(x) принадл. С (-∞;0] ∩ [0; +∞)

Однако:

f(x) не принадл. С (-∞;+∞), потому что в точке «0» она имеет разрыв справа.

Теорема 1: Пусть функция f(x) и g(x) принадлежат С (a;b) => f(x) * g(x) и принадл. С (a;b)

Теорема 2: Если функция y = f(x) принадл С [U (x₀)] и Z = f(x) является непрерывной в точке y = Ф(x₀), тогда Z = f(Ф(x)) принадл. С [U (x₀)].