2.2.2. Дихотомія
-
Щоб подолати шлях, потрібно спочатку подолати половину шляху, а щоб подолати половину шляху, потрібно спочатку подолати половину половини, і так до нескінченності. Тому рух ніколи не почнеться.
Назва "Дихотомія" (по-грецьки: розподіл навпіл) дано Арістотелем.
2.2.3. Летить стріла
Стріла Зенона
-
Летить стріла нерухома, тому що в кожен момент часу вона мешкає, а оскільки вона спочиває в кожен момент часу, то вона спочиває завжди.
Апорії "Дихотомія" і "Стріла" нагадують такі парадоксальні афоризми, приписувані провідному представникові давньокитайській "школи імен" (мін цзя) Гунсунь Місяць (середина IV століття до н.е.. - середина III століття до н.е..):
"У стрімкому [польоті] стріли є момент відсутності і рухи, і зупинки".
"Якщо від палиці [завдовжки] в один чи щодня забирати половину, це не завершиться і через 10000 поколінь".
Аристотель ( IV століття до н.е..) вважав матерію безперервної і необмежено подільною. У книгах IV (глави 2, 3), VI (глави 2, 9) і VIII (глава 8) своєї "Фізики" він аналізує і відкидає міркування Зенона [17]. Щодо апорій руху Аристотель підкреслює, що хоча інтервал часу можна необмежено ділити, але його не можна скласти з ізольованих точок-моментів і не можна цієї нескінченної подільності співвідносити нескінченний час:
|
Позиція Аристотеля ясна, але не бездоганна - і перш за все тому, що йому самому не вдалося ні виявити логічні помилки в доказах, ні дати задовільне пояснення парадоксів ... Аристотелю не вдалося спростувати аргументи з тієї простої причини, що в логічному відношенні докази Зенона складені бездоганно.
Адекватність аналітичної теорії руху
Загальна теорія руху зі змінною швидкістю була розроблена в кінці XVII століття Ньютоном і Лейбніцем. Математичною основою теорії служить математичний аналіз, спочатку спирався на поняття нескінченно малої величини. У дискусії про те, що собою представляє нескінченно мала, знову відродилися два античних підходу [35] [36].
Перший підхід, якого дотримувався Лейбніц, домінував весь XVIII століття. Аналогічно античному атомізму, він розглядає нескінченно малі як особливий вид чисел (більше нуля, але менше будь-якого звичайного позитивного числа). Суворе обгрунтування цього підходу (так званий нестандартний аналіз) розробив Абрахам Робінсон в XX столітті. Основою аналізу по Робінсону служить розширена числова система (гіпервещественние числа). Звичайно, робінсоновскіе нескінченно малі мало схожі на античні атоми хоча б тому, що вони необмежено подільні, але вони дозволяють коректно розглядати безперервну криву в часі і просторі як що складається з нескінченної кількості нескінченно малих ділянок.
Другий підхід запропонував Коші на початку XIX століття. Його аналіз побудований на звичайних речових числах, а для аналізу безперервних залежностей використовується теорія меж. Подібного думки на обгрунтування аналізу дотримувалися Ньютон, Даламбер і Лагранж, хоча були в цій думці не завжди послідовні.
Обидва підходи практично еквівалентні, але з точки зору фізика зручніше перший; в підручниках фізики часто зустрічаються фрази на кшталт "нехай dV - нескінченно малий обсяг ...". З іншого боку, питання про те, який з підходів ближче до фізичної реальності, не вирішене. При першому підході неясно, чому відповідають у природі нескінченно малі числа. При другому адекватності фізичної та математичної моделі заважає той факт, що операція переходу до межі - інструментальний метод дослідження, що не має ніякого природного аналога. Зокрема, важко говорити про фізичну адекватності нескінченних рядів, елементи яких відносяться до довільно малим інтервалам простору й часу (хоча як наближена модель реальності такі моделі часто й успішно використовуються) [37] [5]. Нарешті, не доведено, що час і простір влаштовані скільки-небудь схоже на математичні структури речових або гіпервещественних чисел [32].
Додаткову складність внесла в питання квантова механіка, яка показала, що в мікросвіті різко підвищена роль дискретності. Таким чином, дискусії про структуру простору, часу і руху, розпочаті Зеноном, активно тривають і далекі від завершення.