3.2 Примеры моделей управляемых процессов

Рассмотрим пример задачи оптимального управления. Модель Леонтьева задается выражением:

(8)

Рассмотрим эту модель на некотором промежутке времени . Будем считать валовой продукт X эндогенной переменной, а потребление C - экзогенной. Если задать потребление как функцию от времени на промежутке , то из уравнения модели (8) можно однозначно найти траекторию валового выпуска продукта . Запишем (8) в виде:

(9)

Необходимо также учесть начальное состояние системы и ограничения на минимальную и максимальную величину потребления. Кроме того, из экономического смысла модели вытекает требование неотрицательности переменных.

(10)

В качестве критерия развития экономики возьмем суммарное дисконтированное потребление на всем периоде планирования и экономический потенциал на конец этого периода. Функционал примет вид:

(11)

Здесь - функция дисконтирования, которая позволяет привести потребление к одному моменту времени. Весовые коэффициенты позволяют расставить приоритеты между двумя целями планирования.

Рассмотрим теперь задачу построения траектории процесса по заданному управлению.

Пусть на промежутке дана модель управляемого процесса в виде системы дифференциальных уравнений:

Начальные условия:

При этом управление задано кусочно-непрерывной функцией:

По заданным управлению и начальному состоянию требуется построить траекторию управляемой системы на участке .

Очевидно, что имеется два участка [0;3[ и [3;10] на которых u(t) непрерывна. Для участке подставим значение u=0. Получим систему дифференциальных уравнений:

Решаем второе уравнение методом прямого интегрирования:

где C₂ - произвольная постоянная. Подставим теперь выражение для x₂ в первое уравнение и найдем x₁:

Получено общее решение системы дифференциальных уравнений. Для того, чтобы найти частное решение, подставим в общее решение начальные условия :

, откуда

Таким образом, частное решение системы с учетом начальных значений примет вид:

В точке t=3 состояние системы будет описано двумя числами: x₁(3)=12, x₂(3)=1. Рассмотрим теперь участок траектории . Здесь управление задается выражением u=-1. Подставив это выражение в исходную систему, получим:

Также решив второе уравнение и подставив результат в первое, получим общее решение системы:

Итак, общее решение:

К моменту времени t=3 система окажется в точке x₁(3)=10, x₂(3)=3. Начало второго участка совпадает с концом первого. Подставив эти значения получим частное решение:

Частное решение:

Таким образом, окончательно искомая траектория будет иметь вид:

На рисунке 5 показана построенная траектория.

Рисунок 5 – Траектория управляемого процесса

3.3 Исследование устойчивости моделей управляемых экономических процессов

В реальных экономических системах возможны отклонения состояния системы от рассчитанной траектории. При этом возможны три ситуации:

- небольшие отклонения траектории в настоящий момент приводят к небольшим отклонениям в будущем, которые можно сколь угодно уменьшать за счет уменьшения отклонений в настоящий момент;

- сколь угодно малые отклонения от траектории в настоящий момент неизбежно приводят к существенным отклонениям в будущем;

- поведение траектории аналогично первому варианту, причем со временем траектория неограниченно приближается к расчетной.

Эти три возможности проиллюстрированы на рисунке 6.

Рисунок 6 – Примеры поведения системы при небольших отклонениях от исходной траектории

Первая траектория называется устойчивой, вторая - неустойчивой, третья - асимптотически устойчивой.

Рассмотрим точное определение устойчивости. Пусть имеется процесс, описываемый системой дифференциальных уравнений:

(12)

Пусть - траектория системы, которая является решением системы (1) при начальных условиях

(13)

Рассмотрим некоторую другую траекторию системы , которая является решением системы (12) с другим начальным условием:

(14)

Траектория является устойчивой, если для любого наперед заданного числа можно найти такое число , что из следует, что для всех . Такое определение устойчивости называется определением устойчивости по Ляпунову.

Если решение устойчиво по Ляпунову и, кроме того, выполняется соотношение:

,

(15)

то траектория является асимптотически устойчивой.

Рассмотрим пример.

Динамическая однопродуктовая модель Леонтьева задается уравнением:

(16)

Предположим, что известно начальное состояние системы: . Тогда модель имеет единственное решение .

Уравнение (16) - это неоднородное линейное дифференциальное уравнение. Общее решение уравнения (16) можно представить в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (16). Частным решением является решение . Найдем общее решение однородного уравнения:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Перенесем X в левую часть, а dt в правую.

Полученное дифференциальное уравнение может быть решено интегрированием обеих частей

Откуда .

Общее решение уравнения (16), таким образом, примет вид:

(17)

Для того, чтобы найти значение С₁, подставим в (17) значение .

Таким образом, частное решение (16) имеет вид:

(18)

Выразим отклонение траектории X(t) от траектории :

(19)

Из уравнения (19) видно, что как бы ни было мало отклонение в начальный момент , при отклонение будет неограниченно возрастать, поскольку функция является неограниченно возрастающей. (С учетом из экономического смысла модели величина положительна). Таким образом, модель (16) неустойчива.