Введение

Одним из методов изучения экономики является построение математических моделей, отражающих внутренние закономерности процессов или явлений, происходящих в экономической системе. Математическая экономика является мощным инструментом, который позволяет, во-первых, принимать обоснованные управленческие решения в конкретных ситуациях, во-вторых, получать теоретические знания об экономической системе.

Рассмотрим базовые понятия дисциплины - понятие системы и модели. Система - это совокупность элементов и связей между ними. Примерами систем могут служить: человек, предприятие, система кровообращения человеческого организма, ЭВМ, экономика региона и т.д. Большинство систем предполагает наличие определенных целей их функционирования. Эта цель может быть заданной как извне, так и изнутри системы.

Социально-экономические системы рассматриваются как сложные системы, то есть системы, обладающие рядом свойств:

- большое число элементов и подсистем, входящих в систему;

- сложный характер связей между элементами;

- сложная структура, возможность различных вариантов декомпозиции системы;

- взаимодействие с внешней средой, воздействие случайных факторов;

-наличие управления;

-отсутствие однозначного критерия деятельности системы;

и т.д.

Любую систему нельзя изучить, рассматривая только ее отдельные элементы.

Основным инструментом исследования сложных, в том числе, экономических систем является моделирование. Модель - это совокупность знаний об объекте, представленная в той или иной форме¹, материальной или абстрактной. Например, глобус можно считать моделью Земли. При моделировании изучаемый объект замещается каким-либо другим объектом. Эксперимент проводится не над исходным объектом, а над моделью. Проводя эксперименты с моделями можно получать знания и об исходной системе. Моделирование применяют, если непосредственное изучение объекта невозможно, связано с большими затратами или ведет к уничтожению объекта.

Модели можно разделить на материальные и абстрактные. Глобус, макет – это примеры материальных моделей. Среди абстрактных моделей особое место занимают математические модели, которые описывают известные законы в виде математических отношений.

Модели можно разделить на стохастические и детерминированные. Последние однозначно описывают состояние системы при заданных условиях в любой момент времени. Например, уравнение – позволяет однозначно определить положение тела в любой момент времени t. Стохастическая модель включает случайные факторы. Регрессионное уравнение является примером стохастической модели.

В дальнейшем будем рассматривать именно детерминированные модели, хотя применение таких моделей к экономике является значительным упрощением.

Модели также разделяются на динамические и статические. В статических моделях система отображается в неподвижности в один момент времени. В динамических моделях системы исследуются в своем развитии на протяжении времени.

Динамические модели могут быть многошаговыми (дискретными) или непрерывными. Первые рассматривают состояния системы в отдельные моменты времени, например, день, квартал, год, а вторые - на всем промежутке моделирования. Обычно дискретная модель выражается системой рекуррентных уравнений, а непрерывная – системой дифференциальных уравнений.

Рассмотрим пример. Ежегодно в регионе прокладывается 50 км. коммуникационных линий. Будем фиксировать длину линий каждый год, как это показано на рисунке 1.

Рисунок 1 – График объема производства

На исходе первого года сеть будет иметь общую длину 50 км, на исходе второго - 100 км. и т.д. Это можно записать так:

Так задается математическая модель в дискретном варианте. Эту модель можно переписать и так:

Рассмотрим теперь непрерывный вариант модели. Будем отслеживать суммарную длину сети на всем промежутке времени проведения работ. На рисунке 2 приведен соответствующий график.

Рисунок 2 – График объема производства в непрерывном варианте

Для того чтобы получить модель, будем уменьшать шаг процесса: от часов перейдем к кварталам , к дням и т.д. В общем можно записать, что , где t - это рассматриваемый интервал времени в годах. Разделив обе части полученного выражения на t и переходя к пределу при t  0, получим:

или .

Таким образом, мы получили модель для непрерывного случая, выраженную дифференциальным уравнением. Решив это уравнение можно определить состояние системы в любой момент времени, если известно начальное состояние системы.