2.2 Математическая модель межотраслевого баланса

Математическая модель межотраслевого баланса задается в векторно-матричной форме. Введем обозначения:

n - число отраслей;

Xⁱ ( i = 1, 2, …, n ) - интенсивность валового продукта i-й отрасли;

Yⁱ ( i = 1, 2, …, n ) - интенсивность конечного продукта i-й отрасли;

( i = 1, 2, …, n , j = 1, 2, …, n) - интенсивность межотраслевых поставок продукции из i-й отрасли на производство валовой продукции j-й отрасли.

Модель распределения валовой продукции примет вид:

(1)

Предполагают, что межотраслевые поставки x продукции i-ой отрасли в j-ю отрасль линейно зависят от объема валовой продукции j-ой отрасли X^j:

x = а X , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n

(2)

Здесь - коэффициент прямых затрат, определяющий затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы (в денежном выражении) валовой продукции j-ой отрасли.

Система (1) с учетом условия (2) принимает вид:

(3)

или в векторно-матричной форме:

(4)

где Х = - вектор интенсивности валового продукта;

Y = - вектор интенсивности конечного продукта;

- матрица коэффициентов прямых затрат.

Система уравнений (3) используется для решения одной из двух задач:

- задача наблюдаемости - по известному X найти Y;

- задача синтеза - по известному Y найти X.

Задача наблюдаемости характерна для отчетных балансов. Смысл задачи наблюдаемости в том, чтобы найти конечный продукт по известному валовому продукту, то есть определить результаты производства. Входом в модель является известный вектор валового продукта X, а выходом - искомый вектор конечного продукта Y. В матричной форме задачу наблюдаемости можно выразить так:

(5)

Здесь Е - это единичная матрица, элементы главной диагонали которой единицы, а остальные элементы матрицы - нули:

Задача синтеза применяется для плановых балансов, когда необходимо найти вектор валовой продукции X по заданному вектору конечной продукции Y. Решение задачи позволяет определить, какой объем выпуска по отраслям необходимо запланировать, чтобы обеспечить требуемый объем конечной продукции. В векторной форме задача синтеза отображается следующим образом:

(6)

Здесь - обозначение обратной матрицы к матрице B, то есть матрицы, обращающей равенство в тождество. Матрица - это обратная матрица для матрицы .

Коэффициенты с , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n, матрицы ( Е - А ) ^-1 - это коэффициенты полных затрат, которые характеризуют затраты валовой продукции i-ой отрасли, идущей на единицу конечной продукции j-ой отрасли.

Используется также понятие матрицы коэффициентов косвенных затрат, которая равна разности матриц коэффициентов полных затрат и прямых затрат: .

Рассмотрим пример. Пусть имеется матрица прямых затрат A и вектор конечного продукта Y, требуется найти вектор выпуска X.

Найдем матрицу (E-A):

Обратную матрицу найдем по формуле:

Здесь  - определитель исходной матрицы A, - алгебраическое дополнение элемента матрицы A.

Итак:

И теперь рассчитаем вектор X: