2.3 Баланс труда

Для составления баланса труда введем коэффициенты трудоемкости для каждой отрасли:

где b - норма трудоемкости i-й отрасли в отчетном году;

L - затраты труда i-й отрасли в отчетном году;

X - валовой продукт i-й отрасли в отчетном году.

Коэффициенты b показывают затраты труда на производство единицы продукции i-ой отрасли. Отчетный вектор трудоемкости имеет вид:

Нормы трудоемкости для планового баланса можно найти по отчетным нормам в соответствии с прогнозом. Предположим, что трудоемкость ежегодно снижается на %. Тогда плановую трудоемкость можно найти из отчетной по формуле сложного процента:

,

где  - срок планирования в годах.

Баланс труда на плановый период примет вид:

Сравнивая полученное значение с демографическим прогнозом L*, оценивают обеспеченность плана трудовыми ресурсами. Если окажется, что L_п>L*, то запланированный вектор валового продукта не обеспечен трудовыми ресурсами, и, следовательно, нужно исправить вектор конечного продукта и снова решить задачу синтеза.

Рассчитывают также коэффициенты полных затрат труда, то есть затраты труда на единицу конечной продукции. Вектор коэффициентов полных затрат труда находят как произведение вектора коэффициентов трудоемкости на матрицу коэффициентов полных затрат:

,

или

Аналогичным образом проверяется обеспеченность плана основными производственными фондами.

3 Модель оптимальных управляемых процессов

3.1 Постановка задачи оптимального управления

Если состояние какой-либо системы, в том числе экономической, может изменяться под влиянием управляющих воздействий и необходимо подавать эти воздействия таким образом, чтобы управлять системой наилучшим образом, возникает задача оптимального управления. Эта задача является частным случаем общей задачи оптимизации.

Определим некоторые ключевые понятия, необходимые для описания задачи оптимального управления.

Будем считать, что состояние системы в любой момент времени может быть описано вектором , где - n-мерное пространство. В этом случае пространство называется пространством состояния системы.

Последовательность состояний системы во времени называют траекторией системы.

Независимая переменная называется аргументом процесса. В качестве аргумента процесса может выступать любая величина. В нашем случае t - это время. Переменная пробегает некоторый отрезок числовой прямой, т.е. , или отрезок натурального ряда . В случае с числовой прямой процессы, происходящие в системе, рассматриваются как непрерывные, а в случае натурального ряда – как дискретные или многошаговые.

Будем считать, что управляющие воздействия могут быть заданы с помощью вектора - мерного векторного пространства . Вектор-функция называется программой управления.

На состояние системы и на управление накладываются ограничения: , где - некоторое подпространство -мерного пространства. Ограничения на и также могут задаваться в каждый момент времени t: .

Пару функций называют процессом. Связь между функциями и выражается моделью процесса. Для непрерывных систем модель процесса задается системой дифференциальных уравнений:

,

где - обозначение производной xⁱ по t. Модель может также быть представлена в векторной форме:

(1)

Для определенности будем считать момент начала процесса равным нулю ( =0). Если 0 то перейдем к другому аргументу . Момент окончания процесса примем равным . Аргумент процесса, таким образом, изменяется в переделах .

Определим состояние, в котором система находится в начальный момент времени:

(2)

Если на промежутке задана программа управления , то, подставив функцию в правую часть системы (1), получим:

(3)

Решив систему дифференциальных уравнений (3) с учетом условия (2), можно найти траекторию , которая соответствует заданному уравнению и заданному начальному состоянию . Задавая различные законы управления , можно получать и различные траектории системы.

В дискретном случае модель задается в виде системы рекуррентных уравнений:

Или в векторной форме:

(4)

Аргумент процесса принимает дискретные значения . Начальное состояние будем считать равным .

В дискретной системе, так же как и в непрерывной, программа управления при позволяет однозначно определить траекторию системы. В начальный момент состояние известно. Подставим это состояние в систему (4) и найдем :

.

Затем найдем , подставив найденное значений , и т.д.

...

Так по заданному управлению и начальному состоянию можно однозначно определить траекторию системы.

Процессы , которые удовлетворяют уравнениям модели процесса (3) или (4), заданным начальным условиям (2) и ограничениям на состояние и управление называются допустимыми процессами. Обозначим множество допустимых процессов через M.

Для постановки оптимизационной задачи необходимо ввести в рассмотрение функционал , заданный на множестве . Задача оптимального управления состоит в выборе элемента множества , на котором функционал достигает минимального значения. Процесс называется оптимальным процессом, соответствующее управление - оптимальным управлением, а траектория - оптимальной траекторией.

Функционал описывает критерий управления. Оптимальным по сравнению с любым другим процессом будет тот, на котором значение функционала минимально. Заметим, что если необходимо добиться максимизации функционала , то это может быть достигнуто минимизацией функционала - .

В социально-экономических задачах сложно выделить какой-либо один критерий управления. Для решения многокритериальных задач используются различные методы, например, иногда выводится один главный критерий, а остальные критерии добавляются в качестве ограничений (то есть значение критерия не должно превышать определенной величины, таким образом, множество M сужается). Иногда критерии свертываются в один с помощью весовых коэффициентов.

В задаче оптимального управления для непрерывных систем обычно рассматривают функционалы вида:

,

(5)

где:

и - заданные функции.

Первое слагаемое (5) оценивает качество процесса на промежутке , а второе слагаемое (так называемая, терминальная составляющая) оценивает качество состояния системы в конечный момент времени (t=T). Иногда конечное состояние системы задается заранее. В этом случае терминальная составляющая исключается из функционала (5), а условие добавляется в качестве дополнительного ограничения. Такие задачи называются задачами с фиксированным правым концом траектории.

Для задачи оптимизации дискретных процессов в формуле функционала интеграл заменяется на сумму:

(6)

Существуют такие постановки задачи, когда момент времени окончания процесса не задан заранее, а выступает в качестве критерия управления. Такие задачи называются задачами на быстродействие. Они используются тогда, когда требуется перевести систему из заданного начального состояния в заданное конечное состояние за минимальное время .