1.3 Двухпродуктовая динамическая макроэкономическая модель Леонтьева

Будем теперь рассматривать экономику как совокупность двух отраслей, которые взаимодействуют друг с другом, например, сельское хозяйство и промышленность. Основное отличие от однопродуктовой модели в наличие межотраслевых потоков и перекрестных инвестиций.

Макроэкономическая модель теперь будет выражена системой двух уравнений:

(12)

Здесь Xⁱ, Yⁱ и Wⁱ - соответственно валовой продукт, конечный продукт и производственное потребление i-ой отрасли, . Производственное потребление каждой отрасли распадается на межотраслевые поставки, например: , где - продукция i-ой отрасли, идущая на производство продукции j-ой отрасли. То есть - продукция первой отрасли, идущая на производство продукции второй отрасли, а - продукция первой отрасли, остающаяся в первой отрасли. Таким образом:

Как и для однопродуктовой модели, сделаем предположение о том, что производственное потребление пропорционально валовому продукту. В нашем случае это означает, что межотраслевые поставки из i-ой отрасли в j-ую пропорциональны валовому выпуску j-ой отрасли, то есть X^j:

,

где - коэффициент, который показывает, какие необходимо сделать затраты продукции отрасли i на производство единицы продукта отрасли j – коэффициент прямых затрат.

Предыдущая система примет вид:

,

(13)

Рассмотрим теперь инвестиции. Оставим в силе предположение об отсутствии износа и о том, что инвестиции полностью идут на прирост выпуска продукции. В то же время будем считать, что инвестиции каждой отрасли направляются на прирост выпуска и в своей отрасли и в соседней, например: . Инвестиции из первой отрасли во вторую будем считать пропорциональными приросту выпуска во второй отрасли, то есть X². Таким образом:

(14)

Подставив (13) и (14) в (12) получим:

(15)

В непрерывном случае:

(16)

В непрерывном случае двухпродуктовая динамическая макроэкономическая модель Леонтьева задается системой дифференциальных уравнений (16).

1.4 Однопродуктовая оптимизационная динамическая макроэкономическая модель

Уравнение однопродуктовой модели имеет вид:

(17)

Выпуск продукции ограничен производственными возможностями:

0 ≤ Х(t) ≤ F (t, K(t), L(t))

(18)

В соотношении (18) F(t,K,L) - производственная функция.

Начальный уровень производства и фондов задан:

Х (t 0) = Х 0 , K (t 0) = K 0

(19)

Для реализации достаточного промышленного потенциала введем дополнительное ограничение:

Х ≥ Хmin

(20)

В качестве критерия выберем суммарное дисконтированное потребление за весь период моделирования [t₀,Т]. Критерий имеет вид:

(21)

где Θ (t) – функция дисконтирования, которая позволяет привести потребление к одному моменту времени.

Задача состоит в том, чтобы выбрать такое С = С (t) , которое максимизирует (21) при соблюдении ограничений (17)-(20).

Подобные задачи решаются с помощью аппарата теории оптимального управления.