1 Макроэкономические динамические модели
1.1 Однопродуктовая динамическая макроэкономическая модель
В рамках данной модели экономика рассматривается как единое целое, без декомпозиции на отрасли и регионы. При этом изучается взаимосвязь между наиболее общими экономическими показателями: валовым национальным продуктом, совокупным потреблением, инвестициями и т.п. Введем следующие обозначения:
-
X
- валовой продукт;
W
- производственное потребление, то есть та часть валового продукта, которая направляется в производство;
Y
- конечный продукт, то есть валовой продукт за вычетом производственного потребления;
I
- валовые капитальные вложения или инвестиции;
C
- непроизводственное потребление;
K
- основные производственные фонды, капитал;
L
- труд;
A
- амортизационные отчисления.
Рассмотрим валовой продукт X. Часть его возвращается в производство в виде производственного потребления W, другая его часть составляет конечный продукт Y:
|
(1) |
В свою очередь, конечный продукт Y расходуется на инвестиции I и непроизводственное потребление С:
|
(2) |
Предположим, что производственное потребление W прямо пропорционально валовому продукту X:
|
(3) |
Коэффициент а показывает объем необходимых затрат на выпуск единицы продукции.
Уравнение (2) примет вид:
Х = аХ + Y |
|
Часть инвестиций направляется на компенсацию выбытия основных производственных фондов, а другая часть, так называемые чистые инвестиции, предназначена для роста основных производственных фондов. Предположим, что освоение капитальных вложений происходит в год их выделения, то есть без запаздывания. Таким образом, выражение для расхода инвестиций можно записать:
|
(4) |
,где Kt - это прирост капитала в году t .
Будем
считать, что амортизационные
отчисления прямо пропорциональны
величине основных производственных
фондов:
,
где
- норма амортизации.
С учетом всех сделанных предположений модель (1) в дискретном случае примет вид:
|
(5) |
Та же самая модель в непрерывном варианте будет описана следующим дифференциальным уравнением:
|
(6) |
Переход от модели (5) к модели (6) аналогичен переходу от дискретной модели к непрерывной, который был приведен ранее.
1.2 Упрощения однопродуктовой динамической макроэкономической модели
Рассмотрим однопродуктовую модель Леонтьева, в которой предполагается, что износ основных фондов отсутствует, а инвестиции полностью направлены на прирост валового продукта выпуска, причем в том же году, то есть:
It = b ΔXt, |
(7) |
ΔXt = Xt+1 - Xt |
|
Здесь b - коэффициент, показывающий, какие необходимо сделать инвестиции для увеличения выпуска на единицу. Иными словами, этот коэффициент играет роль «КПД» инвестиций.
С учетом (7) модель (1) в дискретном случае примет вид:
|
(8) |
Или в непрерывном случае:
|
(9) |
Если рассматривать непроизводственное потребление C как экзогенно заданную функцию от времени C=C(t), то получим открытую модель Леонтьева, если же считать, что потребление пропорционально трудовым затратам L, которые в свою очередь определяются выпуском продукции X, то получим замкнутую модель.
Открытая модель выражается формулой:
|
|
Модель можно привести к виду:
|
(10) |
То есть модель выражается неоднородным линейным дифференциальным уравнением.
Для замкнутой модели непроизводственное потребление равно:
,
где c и r - коэффициенты, r - это коэффициент трудоемкости, он показывает затраты труда на единицу продукции, с – потребление на душу населения или на единицу трудовых ресурсов. Таким образом, модель приобретает вид:
|
|
Или:
|
(11) |
Уравнение (11) является однородным линейным дифференциальным уравнением.