Лабораторная работа №3 - Решения задачи оптимального выпуска продукции Постановка задачи

Имеется фирма – монополист, которая производит персональные компьютеры (ПК). Кривая спроса - экспоненциальная. Если фирма назначит цену 2000$ за ПК, то продаст 10 ПК. При цене 100$ будет продано 100 ПК. Постоянные издержки составляют 20000$. Эта сумма не зависит от числа произведённых ПК. Переменные издержки на производство 1 ПК – 500$. Требуется определить оптимальный план выпуска, т.е. такой, который делает прибыль максимальной (Фирма производит столько ПК, сколько может продать). Требуется построить график спроса, графики предельного и среднего доходов, график прибыли в зависимости от количества произведённых изделий.

Также решить задачу исходя из правила MC=MR (предельные издержки равны предельному доходу). Сравнить полученные решения.

Пример решения

Построим функцию спроса p=f(q). Согласно условию задачи, это кривая вида p=a  e^bq, где a и b – коэффициенты. Если подставить известные нам точки (10,2000) и (100,100) то получим систему уравнений относительно a и b, решив которую мы найдем коэффициенты линии спроса и построим кривую спроса. На рисунке 3.1 представлен процесс решения этой задачи.

Рисунок 3.1 – Построение уравнения спроса

Есть еще один способ построения функции спроса. Воспользуемся MS Excel. Введем точки, как показано на рисунке 3.2 и построим диаграмму. Это должна быть точечная диаграмма, ряды данных должны находиться в столбцах, значения по оси X – интервал со значениями Q, значения по оси Y – интервал со значениями P. Далее устанавливаем указатель «мыши» на одну из двух точек, нажимаем правую кнопку «мыши» и выбираем из контекстного меню пункт «Добавить линию тренда». Выбираем тип линии тренда (В нашем случае «Экспоненциальная») и ее параметры (здесь нужно установить флажок «Показывать уравнение на диаграмме»).

Рисунок 3.2 – Построение линии спроса в MS Excel

Теперь, когда мы имеем функцию цены от объема спроса, зададим ее в MathCAD. Далее введем функции дохода R(Q), издержек C(Q) и прибыли Pr(Q). Функции показаны на рисунке 3.3а, коэффициенты a и b были рассчитаны ранее. На рисунке 3.3в приведены графики выручки, издержек и прибыли.

а)	в)
б)

Рисунок 3.3 – Максимизация прибыли

Так как наша фирма является монополистом график спроса на ее продукцию совпадает с графиком спроса всего рынка. Таким образом, фирма может самостоятельно назначать цену.

На рисунке 3в показано решение задачи максимизации прибыли. Мы задали начальное значение объема Qопт и воспользовались функцией maximize(). В результате было получено значение Qopt=28 (мы округлили до целого). Соответствующее значение цены P(28)=1099$. Так мы получим прибыль в размере 7960$. Это максимальное значение.

Теперь попробуем решить эту задачу по известному из микроэкономики правилу MR=MC (Предельный доход равен предельным издержкам). Мы должны построить функции предельных издержек и предельного дохода. Найдем эти функции как производные функций дохода и издержек (Рисунок 4а). Решение уравнения MR=MC приведено на рисунке 4б, а графическая иллюстрация - на рисунке 4в.

а)	в)
б)

Рисунок 4 – Анализ предельных дохода и предельных издержек