4.2 Свойства и характеристики производственной функции

Рассмотрим самый популярный вид производственной функции – производственную функцию с взаимозаменяемыми ресурсами. Эта функция имеет ряд свойств:

1) , если .

При отсутствии хотя бы одного ресурса производство невозможно. Графически это выглядит следующим образом: изокванты не имеют общих точек с осями.

2)

При увеличении затрат любого ресурса объем производства растет при условии, что затраты остальных ресурсов остаются неизменными.

3)

Скорость прироста производства от увеличения использования ресурса убывает по мере роста затрат этого ресурса. Это правило получило название «закон убывающей эффективности».

4) Однородность производственной функции. Производственная функция является однородной степени n, если при одновременном увеличении затрат всех ресурсов в  раз выпуск возрастет ⁿ раз:

Проявляется эффект масштаба:

если n < 1 → эффект отрицательный;

если n > 1 → эффект положительный;

если n =1 → эффект масштаба отсутствует.

Для характеристики использования отдельных ресурсов применяются несколько показателей:

1. Средняя эффективность ресурса:

показывает средний объем выпуска на единицу i-го ресурса.

2. Предельная эффективность ресурса:

показывает, на сколько вырастет выпуск в результате введения дополнительной (малой) единицы i-го ресурса, если затраты остальных ресурсов останутся неизменными.

3. Коэффициент эластичности показывает относительный прирост производства по отношению к относительному приросту затрат i-го ресурса:

Коэффициент _i эластичности приближенно показывает, на сколько процентов увеличится выпуск при увеличении затрат i-го ресурса на 1%. Сумма всех коэффициентов эластичности называется эластичностью производства.

4. Предельная норма замещения (замены) i-го ресурса j-им:

Предельная норма замещения приближенно показывает, на сколько единиц нужно увеличить затраты j-го ресурса для того чтобы высвободить одну малую единицу i-го ресурса, при сохранении объема производства, если затраты остальных ресурсов остаются неизменными.

5. Эластичность замещения:

Показывает относительное изменение нормы x₂/x₁ в зависимости от относительного изменения предельной нормы замещения S_ij. На графике указанная величина определяет «кривизну» изоквант.

4.3 Производственная функция Кобба-Дугласа

Широкое распространение получили двухфакторные производственные функции, характеризующие объем выпуска в зависимости от затрат труда и основных производственных фондов (капитала):

Y = f (L, K)

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

(5)

где a>0; 0<₁, ₂ <1 – коэффициенты.

Функция впервые была рассчитана в двадцатых годах XX века по данным экономики США за тридцать лет. При этом было получено эмпирическое соотношение:

1+21

Часто используют следующую форму производственной функции Кобба-Дугласа (частный случай):

(6)

Иногда, для решения задач экономической динамики для длительного периода требуется учесть изменения производительности из-за влияния научно - технического прогресса. В таких случаях используют динамическую производственную функцию, например:

(7)

где  - коэффициент.

Здесь влияние научно-технического прогресса учитывается с помощью экспоненциальной функции времени. Коэффициент  имеет смысл темпа научно-технического прогресса.

Для расчета значений параметров производственной функции используется метод регрессионного анализа. Предварительно с помощью логарифмирования обеих частей (5) эта функция приводится к линейной:

ln Y = ln a + ₁ ln L+ ₂ ln K

Для случая производственной функции Кобба Дугласа в форме (7):

ln Y = ln a + ₁ ln L+ ₂ ln K+   t

Рассчитаем характеристики производственной функции Кобба-Дугласа. Средняя эффективность труда и капитала:

Величина _L имеет смысл производительности труда.

Предельная эффективность:

Коэффициенты эластичности выпуска по труду и капиталу:

Отсюда видно, что коэффициенты производственной функции Кобба-Дугласа ₁ и ₂ имеют смысл коэффициентов эластичности выпуска по труду и капиталу.

Предельная норма замещения труда капиталом:

Аналогично, предельная норма замещения капитала трудом:

Эластичность замещения:

Для того чтобы рассчитать производную нужно вывести из уравнения (8) выражение для K/L и взять производную по S_LK.

Итак, эластичность замещения для производной функции Кобба-Дугласа равна 1.

Рассмотрим свойства производственной функции для случая производственной функции Кобба-Дугласа:

1. Y(0,0)=0

2. , поскольку ₁ >0 и a > 0. Так же .

3. , поскольку ₁ <1, а остальные множители положительны. Аналогично . Таким образом, закон убывающей производительности в данном случае выполняется.

4. . Таким образом, производственная функция Кобба-Дугласа является однородной степени ₁₊_2.

С помощью функции (6) можно исследовать соотношение между фондовооруженностью труда (K/L) и производительностью труда (Y/L). Разделим обе части (6) на L:

Обозначим через производительность труда, а через - фондовооруженность. Тогда последнее выражение примет вид:

Возьмем первую и вторую производные:

, так как (1-) >0.

, так как  < 0.

Таким образом, производительность труда растет медленнее его фондовооруженности.