§ 2. Основные краевые задачи для эллиптических уравнений

Будем рассматривать два вида областей – конечные и бесконечные. Границу области в обоих случаях полагаем конечной. Если область лежит в пространстве, границей служит замкнутая кривая, если область принадлежит, то границей является замкнутая поверхность.

Задача отыскания функции , удовлетворяющей внутри области данному эллиптическому уравнению, а на границе- данному условию, называетсякраевой или граничной задачей. Задача называется внутренней, если область конечная (ограниченная), и внешней, если область бесконечная (неограниченная).

Важнейшими для эллиптических уравнений являются следующие три краевые задачи:

1. -первая краевая задача или задача Дирихле,

2. -вторая краевая задача или задача Неймана,

3. -третья или смешанная краевая задача.

Здесь и- заданные и непрерывные на границефункции,- производная по направлению внешней нормали. Если, третья задача превращается в задачу Неймана.

Теорема 1. Внутренняя и внешняя задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона имеют не более одного решения.

Доказательство. Пусть задача Дирихле для уравнения Пуассона имеет два решения: и. Тогда справедливы тождества

.

Обозначим . ТогдаЕсли речь идёт о внутренней задаче, гармоническая функциянепрерывна вплоть до границы. По принципу максимума (теорема 6 § 1) её наибольшее и наименьшее значения достигаются на границе. Но тогда они оба равны нулю, поэтомуи.

Перейдем к внешней задаче. Пусть размерность пространства равна трем. Возьмем сферудостаточно большого радиуса, охватывающую границу. По определению гармонической функции по любомуможно подобрать радиуссферы так, что. Учитывая равенствои применяя принцип максимума к области, ограниченной сферойи границей, заключаем, чтоив любой точке области.

Случай рассмотреть самостоятельно.■

Теорема 2. Два решения внутренней задачи Неймана могут отличаться только на постоянное слагаемое.

Доказательство. Допустим, что внутренняя задача Неймана для уравнения Пуассона имеет два решения: и. Тогда справедливы тождества

Разность удовлетворяет соотношениям

(1)

Рассмотрим трехмерный случай. К функции в области, ограниченной поверхностью, применим формулу Грина (6) § 4 гл.I. Учитывая второе из соотношений (1), получим

Это равенство выполняется только если , поэтому.

Двумерный случай рассмотреть самостоятельно. ■

Замечание. Положив в формуле Грина (7) § 4 гл. I , получим равенство . Поэтомуграничное условие задачи Неймана для уравнения Лапласа нельзя задавать произвольно. Оно должно удовлетворять соотношению

Задача. Доказать, что при если решение внутренней смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона существует, то оно единственно.

§ 3. Функция Грина оператора Лапласа

Пусть функция является решением внутренней задачи Дирихле для уравнения Пуассона в области, ограниченной поверхностью:

(1)

где и- заданные непрерывные функции. По теореме 2 § 1 в любой точкеимеет место интегральное равенство

(2)

где .

Рассмотрим функцию , обладающую свойствами:

1) как функция переменной она гармонична ви имеет непрерывные производные первого порядка в;

2) на поверхности принимает граничные значения.

Применив к функциям иформулу Грина (7) § 4 гл.I, с учетом граничных значений и равенства получим

Вычитая это равенство из (2), получим интегральное представление решения задачи (1)

(3)

где -функция Грина задачи Дирихле (1) или функция Грина оператора Лапласа.

Для построения функции достаточно найти функцию, являющуюся решением первой краевой задачи для уравнениясо специальными граничными значениями. Эта задача существенно проще исходной задачи (1).

Замечание 1. Формула (3) дает лишь интегральное представление решения задачи Дирихле, но не гарантирует существование решения.

Замечание 2. Если в (1) положить , то в формуле (3) исчезнет тройной интеграл, и она дастинтегральное представление

(3')

решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

Замечание 3. Для внешней задачи Дирихле функция Грина вводится аналогично, поэтому формула (3) дает решение и внешней задачи Дирихле. Сходимость тройного интеграла в (3) в этом случае следует из регулярности гармонических функций (см. ниже § 7).

Рассмотрим некоторые свойства функции Грина.

1) Ясно, что как функция точкигармонична вза исключением точки, а также удовлетворяет граничному условию

2) всюду в. Действительно, на границеобластифункцияобращается в нуль, а на поверхности достаточно малой сферы, описанной около точки, положительна, так какОтсюда в силу теоремы 6 § 1 следует её положительность всюду в.

3) Гармоническая функция на поверхностипринимает отрицательные значения, поэтому по теореме 6 § 1всюду в. Следовательно, в области

.

4) Функция Грина симметрична относительно своих аргументов, т. е. . Для доказательства применим формулу Грина (7) § 4 гл.I к функциям и, взяв в качестве области интегрированиячасть области, которая получается исключением двух шаров с центрами в точкахис малым радиусом. Тройной интеграл обратится в нуль, т. к. функцииигармоничны в. Интеграл по поверхностиобластиравен нулю по свойству 1. Таким образом, получаем равенство

где и- поверхности рассматриваемых шаров. Припервый интеграл по формуле (2) § 1 равен, второй равен. Это доказывает симметричность функции Грина.

Симметричность функции Грина математически выражает важный физический принцип - принцип взаимности: источник, помещенный в точку , производит в точкетакое же действие, как такой же источник, помещенный в точку, производит в точке.

Задача 1. Пусть функция является решением внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в областис границей:

(4)

Доказать:

1) Функция Грина имеет вид , где,,- гармоническая вфункция, имеющая непрерывные первые производные ви на границепринимающая значения.

2) всюду вкроме точки.

3) .

4) Решение задачи (4) представимо формулой

(5)

Перейдем к смешанной внутренней задаче

(6)

Пусть - решение задачи (6),- гармоническая впо переменнойфункция, имеющая непрерывные первые производные в. Применив к функциямиформулу Грина (7) § 4 гл.I, с учетом равенства получим

Вычитая последнее равенство из интегрального равенства (2), верного для функции , получим

где введено обозначение .

Если функция удовлетворяет граничным условиям

(7)

то, с учетом граничных условий (6), получаем интегральное представление решения смешанной задачи (6) для уравнения Пуассона

(8)

При этом функция называетсяфункцией Грина задачи (6).

Замечание. Формула (8) без всяких дополнительных условий распространяется на внешнюю смешанную задачу для уравнения Лапласа; для уравнения Пуассона требуется регулярность решения и сходимость тройного интеграла.

Задача 2. Доказать, что для решения задачи Неймана (т.е. при ) формулу (8) применять нельзя.

Задача 3. Получить функцию Грина для задачи Неймана.

Используя электростатическую интерпретацию функции Грина можно сказать, что она задает потенциал электрического поля, создаваемого внутри объемаD зарядом величины , сосредоточенным в точкеесли поверхностьФ области D поддерживается при нулевом потенциале. При этом - потенциал поля в неограниченном пространстве,- потенциал, индуцированный зарядомна поверхности. В связи с этим функцию Грина называют такжефункцией источника. Решение уравнения Пуассонапри электростатической интерпретации является потенциалом электростатического поля, созданного зарядами с объемной плотностью, пропорциональнойКраевое условие задачи Дирихлеозначает, что на поверхностиФ задан потенциал краевое условие задачи Нейманаозначает, что задана плотностьповерхностных зарядов.

Задача 4. Дать физическую интерпретацию краевых условий I-III типов и величин, входящих в уравнение Пуассона , описывающее стационарное тепловое поле. Установить физический смысл равенствав задаче Неймана.

Особый интерес представляют задачи изучения поля, создаваемого точечным источником. В простейшем случае задача сводится к уравнению Пуассона, в правой части которого стоит дельта – функция Дирака В пространстве дельта - функцию определяют равенствами причемдля любой непрерывной функции. В частности,. В пространстве- функция определяется аналогично.

Дельта – функция позволяет в корректной математической форме записать пространственную плотность физической величины (заряда, массы, источника тепла, силы и т.д.), сосредоточенной или приложенной в точке пространства. Применяя изученные методы к решению уравнений, содержащих дельта - функции, будем получать обобщенные решения.