А. П. Макаров
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Череповец
ЧЕРЕПОВЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра математического анализа
и прикладной математики
А. П. МАКАРОВ
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Череповец 2004
УДК 517.9
ББК 22.311
М 15
Макаров А. П.
М15 Уравнения математической физики. - Череповец, 2004.- 175 с.
В книге рассматриваются основные типы уравнений математической физики и различные методы их решения. Приводится физическая интерпретация полученных результатов, рассматриваются теоремы существования и единственности решений краевых задач. Дано значительное количество примеров и задач различного уровня сложности.
Книга является учебным пособием для студентов, обучающихся по специальностям прикладная математика, математика, физика.
Рис. 31, библ. - 28 назв.
© Макаров А. П. 2004
Оглавление
Предисловие 5
Глава I . Векторный анализ (теория поля) 7
§ 1. Основные дифференциальные операции векторного анализа 9
§ 2. Поверхностные интегралы. Основные интегральные
соотношения векторного анализа 16
§ 3. Примеры и задачи 22
§ 4. Гармонические функции 24
Глава II. Основные уравнения математической физики 27
§ 1. Волновое уравнение 28
§ 2. Уравнение теплопроводности 31
§ 3. Уравнения Пуассона и Лапласа 34
§ 4. Основные уравнения электростатики, электродинамики и
квантовой механики 35
§ 5. Классификация уравнений второго порядка 38
§ 6. Канонический вид уравнений второго порядка 39
§ 7. Корректность постановки задач математической физики 51
Глава III. Уравнения гиперболического типа 55
§ 1. Теорема единственности 55
§ 2. Метод Даламбера 57
§ 3. Метод Фурье 61
§ 4. Колебания пластины 66
§ 5. Операционный метод 72
§ 6. Формула Пуассона 74
§ 7. Функции Бесселя 80
§ 8. Колебания нити 84
Глава IV. Уравнения параболического типа 88
§ 1. Принцип максимума 88
§ 2. Теорема единственности для неограниченной области 91
§ 3. Распространение тепла на прямой, на плоскости
и в пространстве 92
§ 4. Распространение тепла на полупрямой. Операционный
метод 97
§ 5. Распространение тепла на отрезке. Метод Фурье 100
§ 6. Задача о фазовом переходе 105
Глава V. Уравнения эллиптического типа 111
§ 1. Дополнительные сведения о гармонических функциях.
Интегральное представление функций 111
§ 2. Основные краевые задачи для эллиптических уравнений 117
§ 3. Функция Грина оператора Лапласа 119
§ 4. Решение задачи Дирихле для шара и круга 124
§ 5. Решение задачи Дирихле для полупространства
и полуплоскости 128
§ 6. Поведение производных гармонической функции
на бесконечности 130
§ 7. Теорема единственности решения внешней задачи
Неймана и внешней смешанной задачи 132
§ 8. Конформные отображения 133
§ 9. Применение конформных отображений к решению
задач математической физики 141
§ 10. Метод разделения переменных 145
§ 11. Вариационные методы решения краевых задач .. 147
Глава VI. Теория потенциала 152
§ 1. Понятие о потенциалах 152
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 155
§ 3. Объемный потенциал 158
§ 4. Потенциал двойного слоя 159
§ 5. Потенциал простого слоя 166
§ 6. Применение поверхностных потенциалов к решению
краевых задач 170
Литература 174
Предисловие
Термин математическая физика в научной литературе не имеет однозначного определения. В широком смысле его трактуют как теорию математических моделей физических процессов и явлений. При таком понимании математическая физика занимает особое положение на стыке физики и математики и включает в себя все математические методы, которые применяются для изучения физических явлений и процессов.
Математическая физика как теория математических моделей в физике возникла вместе с открытием дифференциального и интегрального исчислений. Классические задачи математической физики часто сводились к исследованию дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому в узком смысле под математической физикой понимают теорию краевых задач для уравнений в частных производных.
В предлагаемом курсе основное внимание уделено трем типам уравнений в частных производных: эллиптическим, гиперболическим и параболическим. Рассматриваются физические задачи, приводящие к уравнениям того или иного типа, даются различные методы решений полученных уравнений, приводится краткая физическая интерпретация результатов. Книга содержит значительное количество примеров, а также задачи различного уровня сложности для самостоятельной работы.
Для удобства читателей в книгу включены необходимые сведения из векторного анализа, теории аналитических и гармонических функций, операционного и вариационного исчислений, функционального анализа.