
- •А. П. Макаров
- •Оглавление
- •Глава I. Векторный анализ (теория поля)
- •§ 1. Основные дифференциальные операции векторного анализа
- •§ 2. Поверхностные интегралы. Основные интегральные соотношения векторного анализа
- •§ 3. Примеры и задачи
- •§ 4. Гармонические функции
- •Глава II. Основные уравнения математической физики
- •§ 1. Волновое уравнение
- •§ 2. Уравнение теплопроводности
- •§ 3. Уравнения Пуассона и Лапласа
- •1. Стационарное уравнение теплопроводности
- •2. Стационарное уравнение мембраны
- •§ 4. Основные уравнения электростатики, электродинамики и квантовой механики
- •1. Основное уравнение электростатики
- •2. Основное уравнение электродинамики
- •3. Волновое уравнение Шредингера
- •§ 5. Классификация уравнений второго порядка
- •§ 6. Канонический вид уравнений второго порядка
- •1) ; 2)
- •1. Уравнения гиперболического типа
- •2. Уравнения параболического типа
- •3. Уравнения эллиптического типа.
- •1) 2)
- •§ 7. Корректность постановки задач математической физики
2. Уравнения параболического типа
Предположим,
что в рассматриваемой области
уравнение (8) принадлежит параболическому
типу. Значит
.
Тогда уравнения (12) и (13) совпадают и
превращаются в уравнение
(17)
Так
как по предположению коэффициенты A,B,C
не обращаются в нуль одновременно, то
в силу условия
либо
,
либо
.
Пусть, например,
.
Тогда легко видеть, что любое решение
уравнения (17) удовлетворяет и уравнению
(18)
Действительно,
поделив обе части (17) на
,
получим
.
Подставляя в уравнение (18), получим
Пусть
-
решение уравнения (17), причем функция
дважды непрерывно дифференцируема и
ее первые производные не обращаются в
нуль одновременно. Выполним в (8) замену
с
такой произвольной дважды непрерывно
дифференцируемой функцией
,
что якобиан
.
Получим уравнения (9). Используя (17),
получим
Аналогично
и уравнение (9) примет канонический вид
Пример 4. Привести к каноническому виду уравнение
Решение.
Уравнение имеет вид (8) с коэффициентами
.
Так как
,
уравнение принадлежит параболическому
типу. Функцию
,
удовлетворяющую уравнению
вида (17), найдем как решение соответствующего
характеристического уравнения вида
(14):
Общий
интеграл этого дифференциального
уравнения
,
поэтому
.
В качестве
возьмем удовлетворяющую всем требованиям
функцию
.
После очевидных преобразований получим
каноническое уравнение
Задача 4. Привести к каноническому виду уравнение
3. Уравнения эллиптического типа.
Пусть
в рассматриваемой области D
уравнение (8) принадлежит эллиптическому
типу, т.е.
.
Можно доказать, что если коэффициенты
-
аналитические функции аргументов
и
,
то уравнение (10) имеет аналитическое
решение
.
Выполним в (8) замену
Легко
показать, что якобиан функций
и
отличен от нуля. Подставив решение
в (10) и разделив вещественные и мнимые
части, получим
Отсюда
.
А так как замена переменных не меняет
тип уравнения, то
,
откуда
.
Поэтому
и мы приходим к каноническому уравнению
эллиптического типа
Пример 5. Привести к каноническому виду уравнение
.
Решение.
Уравнение имеет вид (8) с коэффициентами
.
Так как
,
уравнение принадлежит эллиптическому
типу. Функции
(19)
отыскиваются как вещественная и мнимая части комплексного решения уравнения (10)
Соответствующее характеристическое уравнение (16)
разбивается на два уравнения:
Общими интегралами этих уравнений являются семейства
а
функции
и
–
это вещественная и мнимая части.
Выполнив
в исходном уравнении замену (19), получим
каноническое уравнение
Задача 5. Привести к каноническому виду уравнения:
1) 2)
Задача 6. Найти области, в которых уравнение принадлежит гиперболическому, эллиптическому или параболическому типу. Привести уравнение к каноническому виду и максимально упростить.
1)
2)
§ 7. Корректность постановки задач математической физики
Пусть
имеется некоторая краевая задача
математической физики. Ее решение u
должно, разумеется, удовлетворять
данному дифференциальному уравнению
и поставленным граничным и начальным
условиям, т.е. должно принадлежать
некоторому функциональному пространству
.
Выбор пространства
накладывает
ограничения на заданные функции, входящие
в правые части уравнения и в краевые
условия: их также можно рассматривать
как элементы некоторого функционального
пространства
Обозначив совокупность таких функций
через
,
запишем краевую задачу в виде
. (1)
Оператор
назовемоператором
данной краевой задачи.
Решить
краевую задачу – значит найти все
элементы пространства
которые преобразуются оператором
в заданный элемент
.
Обычно краевую задачу (1) стараются ставить так, чтобы выполнялись следующие условия:
1)
Решение должно
существовать и быть единственным
в пространстве
при любой функции
;
2) Решение должно непрерывно зависеть от начальных и граничных условий, коэффициентов уравнения и свободного члена.
Краевая
задача, удовлетворяющая этим требованиям,
называется корректной
(корректно
поставленной)
в паре пространств
.
Требование корректности связано с тем,
что задачи математической физики
возникали из практики, их коэффициенты,
граничные и начальные условия определялись
из эксперимента, приближенно, и поэтому
была нужна уверенность в том, что решение
задачи не будет существенно зависеть
от погрешностей измерений.
Корректные (классические) задачи не исчерпывают весь круг задач математической физики. Отказ (полный или частичный) от дифференцируемости коэффициентов уравнений, гладкости решения, его непрерывной зависимости от граничных и начальных условий приводит к необходимости рассматривать некорректные задачи математической физики [19], вводить так называемые обобщенные решения. Это, в свою очередь, требует введения обобщенных функций, обобщенных производных и построения новых функциональных пространств [20].
Опишем достаточно общий класс корректно поставленных задач.
Определение
1.
Система
дифференциальных уравнений с
неизвестными функциями
(2)
называется
нормальной
относительно переменной
,
если правые части
не содержат производных по
порядка выше
и производных по
порядка выше
,
т.е.
.
Здесь
-
компоненты вектора
,
-
натуральное число или нуль,
-
мультииндекс из целых неотрицательных
компонент
,
и
-
операции дифференцирования по
и по
соответственно.
Например,
если
,
и
,
то
может обозначать производные
.
Волновое
уравнение, уравнение Лапласа и уравнение
теплопроводности нормальны относительно
каждой переменной
волновое уравнение, кроме того, нормально
относительно переменной
.
Определение
2.
Функция
называетсяаналитической
в точке
,
если в некоторой окрестности этой точки
она представима в виде равномерно
сходящегося степенного ряда
(Здесь
- мультииндекс из целых неотрицательных
компонент,
,
).
Если функция
аналитична в каждой точке области
,
то говорят, что онааналитична
в области
.
Для
нормальной системы уравнений (2) поставим
следующую задачу
Коши:
найти решение
,
удовлетворяющее при
начальным условиям
(3)
где
-
заданные в некоторой области
функции.
Теорема
1
(Коши
– Ковалевской).
Если все функции
аналитичны в некоторой окрестности
точки
и все функции
аналитичны в некоторой окрестности
точки
то
задача Коши (2) - (3) имеет аналитическое
решение в некоторой окрестности точки
,
и притом единственное в классе
аналитических функций.
Доказательство теоремы приведено, например, в [21].
Рассмотрим
теперь линейную
краевую задачу
вида (1), т.е. задачу, в которой оператор
линейный. Полагаем также, что пространства
и
банаховы.
Теорема
2.
Для того чтобы линейная краевая задача
(1) была корректной в паре банаховых
пространств
,
необходимо и достаточно, чтобы существовал
оператор
,
определенный на всем множестве
и ограниченный.
Доказательство.
1) Необходимость.
Если задача (1) корректна, то ее решение
существует и единственно при любой
функции
.
Единственность решения означает
существование оператора
,
а существование решения при любой
функции
означает, что оператор
определен на всем пространстве
.
Заменим
теперь функцию
на
,
где
.
Возмущение
приведет к возмущению решения
.
Пусть возмущенное решение будет
.
Тогда
,
а так как оператор
линейный, то
.
Задача (1) по предположению корректна,
поэтому
.
Зафиксируем
и соответствующее ему
.
Если
и
,
то
и, следовательно,
.
Отсюда
,
поэтому
.
Это значит, что
,
т.е. оператор
ограничен.
2)
Достаточность.
Если оператор
существует, то задача (1) при каждой
правой части
имеет не более одного решения, Если
оператор
определен на всем пространстве
,
то задача (1) разрешима при любой функции
.
Наконец, если оператор
ограниченный и
,
то
,
где
.■
Замечание
1.
Отметим, что корректность или некорректность
задачи зависит от того, какие пространства
и
выбраны. Одна и та же задача (1) может
быть корректной в одной паре пространств
и некорректной в другой.
Замечание
2.
Простой и важный класс корректных задач
образуют задачи с положительно
определенным оператором
действующим в гильбертовом пространстве
[11].
1
Векторным произведением векторов
и
называют вектор
,
символически задаваемый определителем
.