Глава II. Основные уравнения математической физики

Дифференциальным уравнением в частных производных называется уравнение вида

(*)

с заданной функцией , связывающей неизвестную функцию, ее частные производные и независимые переменные. Порядок старшей производной, входящей в уравнение, называетсяпорядком уравнения. Уравнение называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и всех ее частных производных. Решением уравнения (*) называется любая функция, которая при подстановке вместо обращает уравнение в тождество.

Уравнение (*) имеет, вообще говоря, множество решений. При изучении конкретной задачи требуется, как правило, выбрать то решение, которое удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. Обычно это граничные и начальные условия. Дифференциальные уравнения в частных производных вместе с соответствующими начальными и граничными условиями образуют краевые задачи математической физики.

Задачи физики часто приводят к исследованию следующих дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка для функции

- волновое уравнение;

- уравнение теплопроводности;

- уравнение Пуассона (уравнение Лапласа при ).

Эти уравнения называют основными уравнениями математической физики. Их вывод и описание связанных с ними физических явлений и процессов и составляет содержание данной главы.

§ 1. Волновое уравнение

Выведем уравнение малых поперечных колебаний струны – тонкой, гибкой, упругой нити длины. Закрепим концы струны в точкахи (рис. 4). Предположим, что плотность струны , в состоянии покоя струна располагается вдоль оси, отклонение струны описывается функцией. Считаем также, что все точки струны движутся перпендикулярно оси, а сила натяженияне зависит оти достаточно велика, что позволяет пренебречь действием силы тяжести. Воспользуемся принципом Даламбера, согласно которому все силы, действующие на любой участок струны, включая силы инерции, должны уравновешиваться.

Выделим участок струны и найдем сумму проекций на осьвсех действующих на него сил: сил натяженияи, равных по величине и направленных по касательным к струне в точкахи, внешней силы, направленной параллельно оси, и силы инерции.

Сумма проекций на ось сил натяжения, действующих в точкахи, равна

где - угол, образованный касательной в точке с абсциссойк струне в момент времении положительной полуосью.

Проекция на ось внешней силы, действующей на участокструны, равна

.

Наконец, сила инерции участка струны равна

.

Так как сумма всех найденных сил должна быть равна нулю, то

Из-за произвольности выбора иотсюда следует, что подынтегральное выражение должно равняться нулю для каждой точки струны в любой момент времени, т.е.

. (1)

Это и есть искомое уравнение колебаний струны.

Если внешние силы отсутствуют , получаем уравнение свободных колебаний струны. Если струна однородная, то уравнение (1) записывают в виде

.

Для полного описания движения струны следует задать положения и скорости всех точек струны в начальный момент

Эти условия называются начальными условиями.

Кроме того, следует указать, что происходит на концах струны. Так как концы закреплены, то при

Эти условия называются краевыми или граничными условиями.

Аналогично выводится уравнение поперечных колебаний мембраны, занимающей область плоскости, ограниченную кривой, и имеющей поверхностную плотность(рис. 5):

(Здесь- постоянная (натяжение),- внешняя сила, действующая на мембрану вдоль оси). Начальные условия при этом имеют вид

Если на границе мембрана закреплена, то придолжны выполняться граничные условия.

Пусть, наконец, движутся частицы сплошной однородной среды (жидкости или газа), занимающей объем ограниченный поверхностьюФ. Если обозначить через потенциал скоростей движения точек среды, а через-скорость звука в данной среде, то движения этой среды описываются трехмерным волновым уравнением ([1], гл.I, § 3)

с начальными условиями и граничными условиями (если границаФ является твердой непроницаемой стенкой) . Заметим, что знание потенциала скоростейпозволяет определить поле скоростейи ряд других характеристик среды.

Задача 1. Вывести уравнения колебаний струны и мембраны, пользуясь принципом наименьшего действия ([15], §§ 2,4; [16], гл.III, § 2).

Задача 2. Записать трехмерное волновое уравнение в цилиндрической и сферической системах координат.

Задача 3. Поставить краевые задачи для определения малых продольных колебаний стержня при различных способах закрепления его концов.