1) ; 2)

Рассмотрим теперь уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными:

(8)

Коэффициенты и– дважды непрерывно дифференцируемые функции аргументови,не обращающиеся в нуль одновременно.

Так как тип уравнения (8) определяется соответствующей ему квадратичной формой

(*)

то легко видеть, что уравнение (8) принадлежит:

1) гиперболическому типу, если (квадратичная форма (*) знакопеременная);

2) параболическому типу, если (квадратичная форма (*) знакопостоянная);

3) эллиптическому типу, если (квадратичная форма (*) знакоопределенная).

Введем новые переменные ,дважды дифференцируемыми функциямиии будем считать, что якобианотличен от нуля. В новых переменных уравнение (8) примет вид

(9)

где

Прямым подсчетом легко убедиться, что

,

поэтому замена переменных не меняет тип уравнения.

Покажем, что функции иможно подобрать так, чтобы выполнялось только одно из условий: 1); 2); 3);.

1. Уравнения гиперболического типа

Пусть в некоторой области уравнение (8) принадлежитгиперболическому типу. Значит . Можно считать, что либо, либо. В противном случае обе части уравнения поделим наи получим рассмотренное ранее уравнение с постоянными коэффициентами при старших производных. Рассмотрим дифференциальное уравнение

. (10)

Пусть . Запишем (10) в виде

. (11)

Это уравнение распадается на два:

(12)

(13)

причем решения каждого из них будут решениями уравнения (11).

Вместе с (12) рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

(14)

Его коэффициенты – дважды непрерывно дифференцируемые функции и , поэтому уравнение разрешимо. Пустьи- решение и общий интеграл уравнения (14). Функцияудовлетворяет уравнению (12):

Аналогично, функция , определяющая общий интегралуравнения

(15)

удовлетворяет уравнению (13).

Уравнения (14) и (15) называются характеристическими уравнениями для уравнения (8), а линии и- егохарактеристическими кривыми или характеристиками.

Вернемся к преобразованию уравнения (8). Выполним в нем замену

где и- решения уравнений (12) и (13) соответственно. Выбрав эти функции так, чтобы частные производные, убедимся, что их якобианотличен от нуля:

Функции иудовлетворяют уравнению (10). Поэтому в силу полученных ранее соотношений коэффициентыв уравнении (9) равны нулю. Коэффициентв силу принятых предположений отличен от нуля всюду в. Разделив обе части полученного уравнения (9) на, приведем его к виду

также называемому каноническим.

Если в последнем уравнении выполнить замену , получим другойканонический вид уравнения гиперболического типа:

Замечание. Вместо двух характеристических уравнений (14), (15) первого порядка можно рассматривать одно эквивалентное уравнение

(16)

которое также называется характеристическим и получается почленным перемножением уравнений (14) и (15).

Пример 2. Привести к каноническому виду и найти общее решение уравнения

Решение. Рассматриваемое уравнение имеет вид (8) с коэффициентами . Так как, то это уравнение гиперболического типа на всей плоскостикроме точек, лежащих на координатных осях. Составим характеристическое уравнение вида (16):

Оно распадается на два характеристических уравнения вида (14) и (15) и, имеющих общие интегралыи. Поэтому замена,приведет уравнение к каноническому виду

.

Для решения полученного уравнения обозначим . Тогда уравнение перепишется так:. Если считать переменнуюпараметром и решать уравнение как обыкновенное с неизвестной функциейи независимой переменной, получим, откуда. Величинане зависит от, но может зависеть от параметра,.

Учитывая, что , получим равенствоСчитая здесьпараметром, проинтегрируем обе части равенства по:

Обозначим неопределенный интеграл через . Возвращаясь к старым переменными, получимобщее решение исходного уравнения

,

в котором и- произвольные функции. В частности, решениями являются функции

,

Пример 3. Привести уравнение к каноническому виду. Найти решение, удовлетворяющее условиям

Решение. Ясно, что уравнение имеет гиперболический тип. Поэтому, решив соответствующие характеристические уравнения ивида (14) и (15), найдем заменуприводящую исходное уравнение к каноническому видуОбозначимСчитая переменнуюпараметром, получим уравнение, откуда. Следовательно, поэтому(здесь). Возвратившись к прежним переменным, получим общее решение

Подберем функции итак, чтобы выполнялись заданные условия. Полагая, получим

Отсюда

.

Интегрируя по x последнее уравнение, получим (). С учетом первого уравнения системы находим функции. Поэтому

Задача 2. Привести к каноническому виду и найти общее решение уравнения

Задача 3. Привести уравнение к каноническому виду. Найти решение, удовлетворяющее условиям