Глава V. Уравнения эллиптического типа

К уравнениям эллиптического типа приводит исследование стационарных процессов различной природы: диффузии, теории потенциала, установившейся теплопередачи, газо- и гидродинамики и др. Уравнения Лапласа и Пуассона- простейшие из уравнений эллиптического типа.

В главе подробно рассмотрены основные краевые задачи: внутренние и внешние задачи Дирихле, Неймана и смешанная задача. С применением введенных функций Грина получены интегральные представления решений краевых задач для уравнений Пуассона и Лапласа. Для простейших областей (круг, шар, полуплоскость, полупространство) функции Грина построены. Дан метод разделения переменных и вариационные методы, приведены необходимые дополнительные сведения о гармонических функциях и конформных отображениях.

§ 1. Дополнительные сведения о гармонических функциях. Интегральное представление функций

В § 4 гл. I мы уже встречались с функциями, гармоническими в конечной области. Функция , заданная внеограниченной области , называетсягармонической, если непрерывна ввместе с частными производными первого и второго порядков, удовлетворяет уравнению Лапласа

(1)

и регулярна на бесконечности. Регулярность на бесконечности при означает, что, припределдолжен быть конечным (ниже, в § 6, понятие регулярности на бесконечности будет уточнено).

Теорема 1. Функция

является гармонической в любой области , не содержащей точку. Функция

является гармонической в любой конечной области , не содержащей точку.

Доказательство проводится непосредственной проверкой. ■

Функции иназываютсяфундаментальными решениями уравнения Лапласа (1) при исоответственно.

Теорема 2 (интегральное представление функций). Пусть функция непрерывна и имеет непрерывные производные первого порядка в замкнутой областии непрерывные производные второго порядка вТогда в каждой точкележащей внутриимеет место формула

(2)

где - поверхность, ограничивающая- внешняя нормаль к поверхности.

Доказательство. Вырежем из области шар с центром в точкемалого радиуса. Обозначим черезповерхность этого шара, а черезоставшуюся часть области. В областик функциямиприменим формулу Грина (7) § 4 гл.I. Так как функция в областигармоническая, то имеем

(3)

Устремим к нулю. Тогда в левой части (3) получим интеграл по всей области. Интеграл по поверхностиотне зависит. Покажем, что интеграл по поверхностистремится к пределу

На поверхности величинаимеет постоянное значение, внешняя нормаль направлена противоположно радиусу шара, поэтому

Применив теорему о среднем, получим

где - некоторая точка поверхности.

Производные первого порядка функции по условию непрерывны, а значит и ограничены в замкнутой области. Поэтому существует такая постоянная, что. Тогда

Таким образом, после предельного перехода при в формуле (3) получим

откуда следует формула (2). ■

Задача 1. Доказать, что в имеется формула, аналогичная (2):

(4)

где - конечная область, ограниченная замкнутой кусочно-гладкой кривой,- внешняя нормаль к кривой.

Указание. Воспользоваться методом доказательства теоремы 2 и формулой (3) § 4 гл. I.

Если в формулах (2) и (4) функция гармоническая, тои получаеминтегральное представление гармонической функции

(2')

(4')

Формулы (2), (4), (2') и (4') называются формулами Пуассона.

Теорема 3. Функция , гармоническая в области, внутри этой области имеет производные всех порядков.

Доказательство. Возьмем внутри области произвольную точку. Окружим её областью, целиком лежащей в. Пусть- поверхность области, также содержащаяся в. Тогда функциягармонична ви по формуле (2')

(5)

Так как , то функциянепрерывна и имеет непрерывные производные любого порядка по переменным. Поэтому правую часть (5) можно любое количество раз дифференцировать по переменнымпод знаком интеграла.■

Следствие. Гармоническая в области функция является аналитической в этой области.

Теорема 4 (о среднем арифметическом). Значение гармонической функции в центре шара равно среднему арифметическому её значений на поверхности этого шара.

Доказательство. Пусть в замкнутом шаре радиуса с центром в точкегармоническая функциянепрерывна вместе со всеми своими первыми производными. Обозначим черезповерхность шара. Ясно, что в любой точкеповерхности шараи направление нормалик поверхности совпадает с направлением радиуса шара, поэтому. Кроме того, из формулы Грина (7) § 4 гл.I следует, что . Применяя формулу (2'), отсюда окончательно получим

■

Имеет место и обратное утверждение ([8], гл. 11, § 7).

Теорема 5 (обратная теорема о среднем арифметическом). Пусть в конечной области функциянепрерывна и для любого шарас центром в точке, принадлежащеговместе со своей границей, удовлетворяет равенству. Тогда функциягармонична в.

Теорема 6 (о максимуме и минимуме). Функция, гармоничная в области и непрерывная в, достигает своего наибольшего и наименьшего значений только на границе области (кроме случая постоянной функции).

Доказательство. Предположим, что гармоническая функция достигает наибольшего значения в некоторой внутренней точкеобласти. Рассмотрим сферурадиусас центром в точке, лежащую в. Применив теорему о среднем арифметическом, имеем

(6)

где есть наибольшее значение функциина сфере. Знак равенства в (6) достигается только в случае, когда в каждой точкесферывыполняется равенство. Но так как по предположениюесть наибольшее значение функциив области, то, следовательно,равна постоянной внутри и на поверхности каждой сферы с центром в точке, целиком лежащей в области. Остается доказать, чтоесть постоянная во всей области.

Пусть - произвольная точка, лежащая внутри. Докажем, что. Соединим точкиилиниейконечной длины, лежащей в. Пусть- наименьшее расстояние от точек кривойдо границы областиПостроив последовательность изшаров радиусов, не превосходящих, с центрами в точкахтак, как показано на рис. 17, убедимся, что. Согласно теореме Вейерштрасса, в замкнутой ограниченной области функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений. По доказанному, внутри области точек максимума нет. Поэтому наибольшее значение достигается на границе области.

Заменивна, докажем, что гармоническая функция не может достигнуть своего наименьшего значения внутри области.■

Следствие. Гармоническая функция не может иметь внутри области локальных максимумов и минимумов.

Приведем без доказательства две полезные теоремы ([8], гл. 11, § 9).

Теорема 7. Пусть последовательность функций, гармоничных в ограниченной областис кусочно-гладкой границей. Если функциинепрерывны в замкнутой областии равномерно сходятся на, то

1) последовательность равномерно сходится в;

2) предельная функция гармонична в ;

3) в любой замкнутой подобласти последовательность производных любого порядка от функцийравномерно сходится к соответствующей производной предельной функции.

Теорема 8. Пусть последовательность функций, гармоничных в ограниченной областис кусочно-гладкой границей. Если последовательность сходится в метрике пространства, то

1) предельная функция гармонична в ;

2) в любой внутренней подобласти последовательностьи последовательности, полученные из неё дифференцированием, сходятся равномерно.

Заметим, что доказанные в данном параграфе теоремы легко переносятся с пространства на пространство

Задача 2. Привести примеры последовательностей гармонических функций, удовлетворяющих условиям теорем 7 и 8.