
- •Глава IV. Уравнения параболического типа
- •§ 1. Принцип максимума
- •§ 2. Теорема единственности для неограниченной области
- •§ 3. Распространение тепла на прямой, на плоскости и в пространстве. Функция источника
- •§ 4. Распространение тепла на полупрямой. Операционный метод
- •§ 5.Распространение тепла на отрезке. Метод Фурье
- •§ 6. Задача о фазовом переходе
- •Глава V. Уравнения эллиптического типа
- •§ 1. Дополнительные сведения о гармонических функциях. Интегральное представление функций
- •§ 2. Основные краевые задачи для эллиптических уравнений
- •§ 3. Функция Грина оператора Лапласа
- •§ 4. Решение задачи Дирихле для шара и круга
- •§ 5. Решение задачи Дирихле для полупространства и полуплоскости
- •§ 6. Поведение производных гармонической функции на бесконечности
Глава V. Уравнения эллиптического типа
К уравнениям
эллиптического типа приводит исследование
стационарных процессов различной
природы: диффузии, теории потенциала,
установившейся теплопередачи, газо- и
гидродинамики и др. Уравнения Лапласа
и Пуассона
- простейшие из уравнений эллиптического
типа.
В главе подробно рассмотрены основные краевые задачи: внутренние и внешние задачи Дирихле, Неймана и смешанная задача. С применением введенных функций Грина получены интегральные представления решений краевых задач для уравнений Пуассона и Лапласа. Для простейших областей (круг, шар, полуплоскость, полупространство) функции Грина построены. Дан метод разделения переменных и вариационные методы, приведены необходимые дополнительные сведения о гармонических функциях и конформных отображениях.
§ 1. Дополнительные сведения о гармонических функциях. Интегральное представление функций
В § 4 гл. I
мы уже встречались с функциями,
гармоническими в конечной области.
Функция
,
заданная внеограниченной
области
,
называетсягармонической,
если
непрерывна в
вместе с частными производными первого
и второго порядков, удовлетворяет
уравнению Лапласа
(1)
и регулярна на
бесконечности. Регулярность на
бесконечности при
означает, что
,
при
предел
должен быть конечным (ниже, в § 6, понятие
регулярности на бесконечности будет
уточнено).
Теорема 1. Функция
является гармонической
в любой области
,
не содержащей точку
.
Функция
является гармонической
в любой конечной области
,
не содержащей точку
.
Доказательство проводится непосредственной проверкой. ■
Функции
и
называютсяфундаментальными
решениями уравнения
Лапласа (1) при
и
соответственно.
Теорема 2
(интегральное
представление функций).
Пусть функция
непрерывна и имеет непрерывные производные
первого порядка в замкнутой области
и непрерывные производные второго
порядка в
Тогда в каждой точке
лежащей внутри
имеет место формула
(2)
где
-
поверхность, ограничивающая
-
внешняя нормаль к поверхности
.
Доказательство.
Вырежем из области
шар с центром в точке
малого радиуса
.
Обозначим через
поверхность этого шара, а через
оставшуюся часть области
.
В области
к функциям
и
применим формулу Грина (7) § 4 гл.I.
Так как функция
в области
гармоническая, то имеем
(3)
Устремим
к нулю. Тогда в левой части (3) получим
интеграл по всей области
.
Интеграл по поверхности
от
не зависит. Покажем, что интеграл по
поверхности
стремится к пределу
На поверхности
величина
имеет постоянное значение
,
внешняя нормаль направлена противоположно
радиусу шара, поэтому
Применив теорему о среднем, получим
где
- некоторая точка поверхности
.
Производные первого
порядка функции
по условию непрерывны, а значит и
ограничены в замкнутой области
.
Поэтому существует такая постоянная
,
что
.
Тогда
Таким образом,
после предельного перехода при
в формуле (3) получим
откуда следует формула (2). ■
Задача 1.
Доказать, что в
имеется формула, аналогичная (2):
(4)
где
- конечная область, ограниченная замкнутой
кусочно-гладкой кривой
,
- внешняя нормаль к кривой
.
Указание. Воспользоваться методом доказательства теоремы 2 и формулой (3) § 4 гл. I.
Если в формулах
(2) и (4) функция
гармоническая, то
и получаеминтегральное
представление гармонической функции
(2')
(4')
Формулы (2), (4), (2') и (4') называются формулами Пуассона.
Теорема 3.
Функция
,
гармоническая в области
,
внутри этой области имеет производные
всех порядков.
Доказательство.
Возьмем внутри области
произвольную точку
.
Окружим её областью
,
целиком лежащей в
.
Пусть
- поверхность области
,
также содержащаяся в
.
Тогда функция
гармонична в
и по формуле (2')
(5)
Так как
,
то функция
непрерывна и имеет непрерывные производные
любого порядка по переменным
.
Поэтому правую часть (5) можно любое
количество раз дифференцировать по
переменным
под знаком интеграла.■
Следствие. Гармоническая в области функция является аналитической в этой области.
Теорема 4 (о среднем арифметическом). Значение гармонической функции в центре шара равно среднему арифметическому её значений на поверхности этого шара.
Доказательство.
Пусть в замкнутом шаре радиуса
с центром в точке
гармоническая функция
непрерывна вместе со всеми своими
первыми производными. Обозначим через
поверхность шара. Ясно, что в любой точке
поверхности шара
и направление нормали
к поверхности совпадает с направлением
радиуса шара, поэтому
.
Кроме того, из формулы Грина (7) § 4 гл.I
следует, что
.
Применяя формулу (2'), отсюда окончательно
получим
■
Имеет место и обратное утверждение ([8], гл. 11, § 7).
Теорема 5
(обратная
теорема о среднем арифметическом).
Пусть в конечной области
функция
непрерывна и для любого шара
с центром в точке
,
принадлежащего
вместе со своей границей
,
удовлетворяет равенству
.
Тогда функция
гармонична в
.
Теорема 6
(о максимуме
и минимуме).
Функция, гармоничная в области
и непрерывная в
,
достигает своего наибольшего и наименьшего
значений только на границе области
(кроме случая постоянной функции).
Доказательство.
Предположим, что гармоническая функция
достигает наибольшего значения в
некоторой внутренней точке
области
.
Рассмотрим сферу
радиуса
с центром в точке
,
лежащую в
.
Применив теорему о среднем арифметическом,
имеем
(6)
где
есть наибольшее значение функции
на сфере
.
Знак равенства в (6) достигается только
в случае, когда в каждой точке
сферы
выполняется равенство
.
Но так как по предположению
есть наибольшее значение функции
в области
,
то, следовательно,
равна постоянной внутри и на поверхности
каждой сферы с центром в точке
,
целиком лежащей в области
.
Остается доказать, что
есть постоянная во всей области
.
Пусть
- произвольная точка, лежащая внутри
.
Докажем, что
.
Соединим точки
и
линией
конечной длины, лежащей в
.
Пусть
- наименьшее расстояние от точек кривой
до границы области
Построив последовательность из
шаров радиусов, не превосходящих
,
с центрами в точках
так, как показано на рис. 17, убедимся,
что
.
Согласно теореме Вейерштрасса, в
замкнутой ограниченной области функция
достигает своего наибольшего и наименьшего
значений. По доказанному, внутри области
точек максимума нет. Поэтому наибольшее
значение достигается на границе области.
Заменив
на
,
докажем, что гармоническая функция не
может достигнуть своего наименьшего
значения внутри области
.■
Следствие.
Гармоническая функция не может иметь
внутри области
локальных максимумов и минимумов.
Приведем без доказательства две полезные теоремы ([8], гл. 11, § 9).
Теорема 7.
Пусть
последовательность функций, гармоничных
в ограниченной области
с кусочно-гладкой границей
.
Если функции
непрерывны
в замкнутой области
и равномерно сходятся на
,
то
1) последовательность
равномерно сходится в
;
2) предельная
функция гармонична в
;
3) в любой замкнутой
подобласти
последовательность производных любого
порядка от функций
равномерно сходится к соответствующей
производной предельной функции.
Теорема 8.
Пусть
последовательность функций, гармоничных
в ограниченной области
с кусочно-гладкой границей
.
Если последовательность сходится в
метрике пространства
,
то
1) предельная
функция гармонична в
;
2) в любой внутренней
подобласти
последовательность
и последовательности, полученные из
неё дифференцированием, сходятся
равномерно.
Заметим, что
доказанные в данном параграфе теоремы
легко переносятся с пространства
на пространство
Задача 2. Привести примеры последовательностей гармонических функций, удовлетворяющих условиям теорем 7 и 8.