§ 4. Колебания пластины

Метод Фурье полезно комбинировать с другими методами. Покажем это на примере задачи о поперечных колебаниях плоской однородной упругой пластины конечной толщины (рис. 10). Предположим, что отклонение точкисрединной плоскости пластины от плоскостив момент времениописывается функцией, и края пластины жестко закреплены. Известно, что колебания такой пластины описываютсябигармоническим уравнением

(1)

где ,- положительная постоянная, зависящая от толщины пластины и ее физических свойств.

В принятых предположениях граничные условия

(2)

(- производная по направлению нормали к контуру Г), начальные условия

(3)

В соответствии с методом Фурье решение ищем в виде . Подстановка в уравнение (1) даетили, после разделения переменных,. Отсюда получаем два уравнения:

(4)

(5)

Теорема. Оператор симметричен и положительно определен на множестве функций из, удовлетворяющих условию (2), если скалярное произведение определено равенством

Доказательство. 1) По формуле Грина (формула (3), § 4, гл. I)

Контурные интегралы равны нулю в силу граничных условий (2), поэтому

(6)

Отсюда следует симметричность оператора . Заменив в равенстве (6) сначалана, а затемна, получим

(7)

откуда следует симметричность оператора .

2) Используя формулу Грина ([5], § 10, гл. 5), легко получить равенство

(8)

Так как , то контурный интеграл преобразуется к виду

(9)

где - направление касательной к контуру.

Последний контурный интеграл преобразуем методом интегрирования по частям. Так как контур замкнутый, а функции,,непрерывные, то внеинтегральное слагаемое обратится в нуль, и мы получим

Отсюда и из формул (8) и (9) получим

(10)

Теперь выразим производныеичерез производную по нормалии производную по касательнойк контуру. Если уголввести так, как показано на рис. 11, то очевидны равенства

. Отсюда .

Переходя в контурном интеграле в формуле (10) к производным по нормали и по касательной и учитывая граничное условие (2), получим равенство

(11)

Теперь прибавим к правой части полученного ранее равенства умноженный на два двойной интеграл из формулы (11). После очевидных преобразований получим

(12)

Применив к каждому из интегралов неравенство Фридрихса

()

([26], с. 56), получим следующие неравенства:

Взяв теперь и еще раз применив неравенство Фридрихса, получим неравенство

с постоянной Значит, операторположительно определенный.■

Доказанная теорема обосновывает возможность применения метода Ритца к решению уравнения (4) (см. [11], § 11, теоремы 1 – 5).

Решениями уравнения (4) являются, очевидно, собственные функции оператора, отвечающие собственным числамэтого оператора и удовлетворяющие граничным условиям (4). Собственные числаоператораположительны и. Подставляя эти числа в уравнение (5), получим двухпараметрическое семейство решений. Решение задачи (1) - (3) при этом получим в виде ряда. Постоянныеиопределяются из начальных условий (3).

Замечание. При доказательстве теоремы 1 была доказана симметричность оператора . Применяя неравенство Фридрихса, легко доказать положительную определенность оператора. Этим будет обоснована возможность применения метода Ритца к решению уравнения колебаний мембраныс граничными и начальными условиями (2) - (3).

Рассмотрим задачу о приближенном нахождении собственных чисел оператора в задаче (4). Воспользуемсяметодом Ритца. Пусть - собственные функции оператора, отвечающие собственным числам. Тогда

при условии Метод Ритца приближенного отыскания собственных чисел состоит в следующем. Для любого натурального n выберем систему из n линейно независимых координатных (допустимых) функций , т.е. функций, имеющих четвертые частные производные и удовлетворяющих граничным условиям (4). Рассмотрим множествовсех линейных комбинаций вида

(13)

с произвольными постоянными Заменим задачу нахождения собственных чисел оператораследующей: найти постоянныеи функциивида (13) такие, что

(14)

при условии , еслиДля таких функций

Так как функции заданы, то постоянныеиизвестны. Возвратившись к (14), для произвольногозапишемили

Так как илюбые, то равенство возможно только если

(15)

Таким образом, любое число является корнем алгебраического уравнения (15) степениn. Это уравнение называется характеристическим. Каждое из чисел дает приближенное значение (с избытком) собственного числаоператора.

Пример. Найти решение задачи о колебаниях прямоугольной пластиныс граничными условиями (2) и начальными условиями,.

Решение. Применив метод разделения переменных, придем к уравнениям вида (4) – (5). Воспользуемся методом Ритца. Ограничиваясь первым приближением, возьмем в качестве координатной функции функцию

Уравнение (15) примет вид с постоянными

.

Поэтому .

Найденное значение подставим в уравнение (5):Так както общее решение

.

Поэтому искомое приближенное решение

.

Постоянные иопределим из данных начальных условий. Первое из них даст, второе определяет. Окончательно приближенное решение принимает вид.

Задача. Найти решение задачи о колебаниях круглой пластиныс граничными условиями (2) и начальными условиями.